第3章多维随机变量.doc

第3章 多维随机变量 ----------------------------------------------------------------------------- §3.1 二维随机变量及其分布 分布函数的定义 设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)是任意实数对， 记{X≤x，Y≤y}={X≤x}{Y≤y},称二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}为(X,Y)的联合分布函数；X与Y的分布函数和分别称为(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数，且有，。 随机点(X,Y)落入矩形D={(x,y):}内的概率为 P{}=F()-F()-F()+F() 二维联合分布函数的性质 （1）F(x,y)分别对x,y单调不降，即有 当时，F()F()对一切yR成立 当时，F()F()对一切xR成立 （2）对每一个变量F(x,y)是右连续的，即有 ，对一切yR成立 ，对一切xR成立 （3）F(x,y)是非负有界函数：0≤F(x,y)≤1,而且有 ，， （4）对于任意实数，，有 若二元函数F(x,y)满足上述四条性质，则一定存在二维随机变量(X,Y)以F(x,y)为联合分布函数 二维离散型随机变量定义 二维随机变量(X,Y)所有可能取值为有限对或可列无穷对：(,),i=1,2,...,记 (i,j=1,2,...)【(X,Y)的联合分布律】 满足以下条件： （1）（i,j=1,2,...） （2） 则称(X,Y)为二维离散型随机变量 二维离散型联合分布律 （1）随机变量(X,Y)的联合分布函数为 （2）随机变量X与Y的分布律为 [X的边缘分布律] （i=1,2,...） [Y的边缘分布律] （j=1,2,...） 通常我们习惯用标的形式给出二维离散型随机变量的联合分布律 X Y ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 注：联合分布律可以完全确定X,Y的边缘分布律，但反过来X,Y的边缘分布律不可以确定联合分布律。 联合概率密度 二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),如果存在函数f(x,y)≥0,使得对任意实数对(x,y)有 则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为(X,Y)的联合概率密度 联合概率密度的性质 （1）处处成立 （2） 凡是满足这两个性质的二元函数f(x,y)必为某个二维随机变量的联合概率密度 （3）若，则有 （4）随机变量X,Y的概率密度分别为 [关于X的边缘概率密度] xR [关于Y的边缘概率密度] yR （5）若f(x,y)在(x,y)处连续，则 二维随机变量的几个分布 （1）二维离散型随机变量 ①二维两点分布 设随机变量(X,Y)的联合分布律如下表，其中0p1，称(X,Y)服从二维两点分布 X Y 0 1 0 1-p 0 1 0 p 0 x0或y0 F(x,y)= 1-p 0≤x1,1≤y或0≤y1,1≤x 1 1≤x,1≤y （2）二维连续型随机变量 ①二维均匀分布（几何概率） 设，其面积记为S(G)，若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 (x,y)G f(x,y)= 0 (x,y)G 则称(X,Y)在G上服从均匀分布 设D是G的子域()，则有 ②二维正态分布 二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 式中,,,,均为常数，且,，，则称(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)~N() ，则表示X,Y相互独立（相关性系数，越靠近0越不相关，反之相关） X的概率密度 Y的概率密度 ----------------------------------------------------------------------------- §3.2 二维随机变量的独立性 二维随机变量的独立性 设(X,Y)是二维随机变量，若对于任意实数x和y，有 或 成立，则称随机变量X和Y相互独立 等价于对于一切实数对(x,y),有 成