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《概率论》期末考试考试练习题A卷及答案
一、选择题(每题3分,共15分)
1.设事件A和B满足$P(AB)=P(A)$,则()
A.A和B互不相容
B.A和B相互独立
C.$A\subseteqB$
D.$B\subseteqA$
答案:A
解析:根据概率的性质$P(AB)=P(A)P(AB)$,已知$P(AB)=P(A)$,则$P(A)P(AB)=P(A)$,所以$P(AB)=0$。互不相容事件的定义是$AB=\varnothing$,此时$P(AB)=0$,所以A和B互不相容,故答案选A。
2.设随机变量X服从参数为$\lambda$的泊松分布,且$P\{X=1\}=P\{X=2\}$,则$\lambda$的值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B
解析:若随机变量X服从参数为$\lambda$的泊松分布,其概率分布为$P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}e^{\lambda}}{k!},k=0,1,2,\cdots$。已知$P\{X=1\}=P\{X=2\}$,即$\frac{\lambda^{1}e^{\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^{2}e^{\lambda}}{2!}$,因为$e^{\lambda}\neq0$,两边同时约去$e^{\lambda}$,得到$\lambda=\frac{\lambda^{2}}{2}$,移项可得$\lambda^{2}2\lambda=0$,即$\lambda(\lambda2)=0$,解得$\lambda=0$或$\lambda=2$,由于泊松分布参数$\lambda0$,所以$\lambda=2$,答案选B。
3.设随机变量X的概率密度为$f(x)=\begin{cases}2x,0x1\\0,其他\end{cases}$,则$E(X)$的值为()
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.1
答案:B
解析:根据连续型随机变量的数学期望公式$E(X)=\int_{\infty}^{+\infty}xf(x)dx$,已知$f(x)=\begin{cases}2x,0x1\\0,其他\end{cases}$,则$E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=2\int_{0}^{1}x^{2}dx$。根据积分公式$\intx^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\neq1)$,可得$2\int_{0}^{1}x^{2}dx=2\times[\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}=2\times\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$,答案选B。
4.设二维随机变量$(X,Y)$的联合分布律为
||0|1|
||||
|0|0.1|0.2|
|1|0.3|0.4|
则$P\{X+Y\geq1\}$的值为()
A.0.3
B.0.6
C.0.7
D.0.9
答案:D
解析:要求$P\{X+Y\geq1\}$,可以先求出其对立事件$P\{X+Y1\}$。$X+Y1$即$X=0,Y=0$,$P\{X=0,Y=0\}=0.1$。根据概率的性质$P\{X+Y\geq1\}=1P\{X+Y1\}=10.1=0.9$,答案选D。
5.设总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$,$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体X的样本,$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$,则$\overline{X}$服从()
A.$N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$
B.$N(\mu,\sigma^{2})$
C.$N(0,1)$
D.$N(n\mu,n\sigma^{2})$
答案:A
解析:若总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$,$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体X的样本,则样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$服从正态分布,且$E(\overline{X})=\mu$,$D(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}$,所以$\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^