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《概率论》期末考试考试练习题

一、选择题

1.设事件A和B满足$P(AB)=P(A)$，则（）

A.A与B互斥

B.$P(B)=0$

C.A包含B

D.A与B相互独立

答案：A

解析：根据概率的性质$P(AB)=P(A)P(AB)$，已知$P(AB)=P(A)$，则$P(A)P(AB)=P(A)$，所以$P(AB)=0$。互斥事件的定义是若$AB=\varnothing$，则称事件A与B互斥，此时$P(AB)=0$，所以A与B互斥，选A。

2.设随机变量X服从参数为$\lambda$的泊松分布，且$P(X=1)=P(X=2)$，则$\lambda$等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：泊松分布的概率公式为$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{\lambda}}{k!}$，$k=0,1,2,\cdots$。已知$P(X=1)=P(X=2)$，即$\frac{\lambda^{1}e^{\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^{2}e^{\lambda}}{2!}$，因为$e^{\lambda}\neq0$，两边同时约去$e^{\lambda}$，得到$\lambda=\frac{\lambda^{2}}{2}$，又因为$\lambda0$，解得$\lambda=2$，选B。

二、填空题

1.已知随机变量X的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}2x,0x1\\0,其他\end{cases}$，则$P(0.5X1)=$____。

答案：$0.75$

解析：根据连续型随机变量在某区间上的概率等于其概率密度函数在该区间上的定积分，$P(0.5X1)=\int_{0.5}^{1}2xdx$。由积分公式$\intx^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\neq1)$，可得$\int_{0.5}^{1}2xdx=x^{2}\big|_{0.5}^{1}=1^{2}(0.5)^{2}=10.25=0.75$。

2.设随机变量X和Y相互独立，且$D(X)=4$，$D(Y)=2$，则$D(3X2Y)=$____。

答案：44

解析：根据方差的性质，若X和Y相互独立，则$D(aX+bY)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)$。对于$D(3X2Y)$，这里$a=3$，$b=2$，所以$D(3X2Y)=3^{2}D(X)+(2)^{2}D(Y)=9\times4+4\times2=36+8=44$。

三、判断题

1.若事件A和B满足$P(A)+P(B)=1$，则A和B是对立事件。（）

答案：错误

解析：对立事件不仅要满足$P(A)+P(B)=1$，还需满足$AB=\varnothing$（即A和B互斥）。仅$P(A)+P(B)=1$不能得出A和B是对立事件，例如在几何概型中，设$X$是区间$[0,2]$上的均匀分布，令$A=\{X\in[0,1.5]\}$，$B=\{X\in[0.5,2]\}$，$P(A)=\frac{1.5}{2}=0.75$，$P(B)=\frac{1.5}{2}=0.75$，$P(A)+P(B)=1.5\neq1$，但如果调整为$A=\{X\in[0,1]\}$，$B=\{X\in[1,2]\}$，此时$P(A)=0.5$，$P(B)=0.5$，$P(A)+P(B)=1$，但当$X=1$时，$A\capB=\{1\}\neq\varnothing$，所以A和B不是对立事件。

2.设随机变量X的数学期望$E(X)$存在，则$E[E(E(X))]=E(X)$。（）

答案：正确

解析：数学期望$E(X)$是一个常数，对于常数$C$，有$E(C)=C$。因为$E(X)$是常数，所以$E(E(X))=E(X)$，进而$E[E(E(X))]=E(X)$。

四、解答题

1.已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率是0.03。求：

(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；

(2)一个经检查被判为合格品的产品确实是合格品的概率。

答案：

(1)设事件$A$表示“产品是合格品”，$\overline{A}$表示“产品是次品”，事件$B$表示“产品被判为合格品”。

已知$P(A)=0.95$，$P(\overline{A})=1P(A)=0.05$，$P(B|A)=0.98$（