第7章函数的导数和积分.ppt

第7章 函数的导数和积分 对于可导的函数的导数也是一个函数，称作的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导，反之已知导函数，也可以倒过来求原来的函数。 求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。在微积分中，积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和（例如求曲边三角形的面积），这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。 7.1 函数的导数 7.1.1 函数导数的解析解 使用符号求导函数的调用格式是： diff(fun,x,n) 其中，fun是函数符号表达式；x是符号自变量；n是求导的阶数（n为1时可以省略）。 例7-1 计算函数的一阶和二阶导数。 % 求函数导数解析解 syms x % 定义表达式中的符号变量 f=sqrt(cos(x))-x*sin(x); % 定义函数表达式 disp ( 函数的1阶导数：),f1=diff(f) disp ( 函数的2阶导数：),f2=diff(f,2) M文件运行结果： 函数的1阶导数： f1 = -1/2/cos(x)^(1/2)*sin(x)-sin(x)-x*cos(x) 函数的2阶导数： f2 = -1/4/cos(x)^(3/2)*sin(x)^2-1/2*cos(x)^(1/2)-2*cos(x)+x*sin(x) 7.1.2 二维函数和参数方程的偏导数 1、二维函数的偏导数 使用符号求二维函数fun(x,y)偏导数的函数调用格式是： diff(diff(fun,x),y) diff(diff(fun,y),x) 其中，fun是函数符号表达式；x和y是符号自变量 例7-2 计算二维函数的2阶偏导数： % 求二维函数2阶偏导数解析解 syms x y % 定义表达式中的符号变量 f=x^2*y/(x+y)^3; % 定义二维函数表达式 disp ( 对变量x的2阶偏导数：) d2x=diff(f,x,2) disp ( 对变量y的2阶偏导数：) d2y=diff(f,y,2) disp ( 函数的2阶偏导数：) dxy=diff(diff(f,x),y) disp ( 函数的2阶偏导数的简化符号表达式：) sdxy=simplify(dxy) M文件运行结果： 对变量x的2阶偏导数： d2x = 2*y/(x+y)^3-12*x*y/(x+y)^4+12*x^2*y/(x+y)^5 对变量y的2阶偏导数： d2y = -6*x^2/(x+y)^4+12*x^2*y/(x+y)^5 函数的2阶偏导数： dxy = 2*x/(x+y)^3-6*x*y/(x+y)^4-3*x^2/(x+y)^4+12*x^2*y/(x+y)^5 函数的2阶偏导数的简化符号表达式： sdxy = -x*(x^2-7*x*y+4*y^2)/(x+y)^5 2、参数方程的偏导数 设参数方程为 和 ，计算参数方程k阶导数 的函数调用格式是： diff(f,t,k) / diff(g,t,k) 例7-3 计算参数方程导数 解析解，并计算当 时的数值解。 % 求参数方程导数的解析解 syms t % 定义参数方程中的符号变量 x=log(cos(t)); % 定义参数方程1 y=cos(t)-t*sin(t); % 定义参数方程2 dydx1=diff(y,t)/diff(x,t); disp(参数方程的1阶导数的简化符号表达式：) sdydx1=simplify(dydx1) dydx2=diff(y,t,2)/diff(x,t,2); disp(参数方程的2阶导数的简化符号表达式：) sdydx2=simplify(dydx2) % 计算t=pi/3时的二阶导数值(有效数字6位) s2=vpa(subs(dydx2,t,pi/3),6); disp( t=pi/3时的二阶导数值：),s2 M文件运行后得到的计算结果： 参数方程的1阶导数的简化符号表达式： sdydx1 = (2*sin(t)+t*cos(t))*cos(t)/sin(t) 参数方程的2阶导数的简化符号表达式： sdydx2 = -(-3*cos(t)+t*sin(t))*cos(t)^2 t=pi/3时的二阶导数值： s2 = .148275 因此，参数方程一阶和二阶导数的解析解是： 7.1.3 n维函数的偏导数 1、n维隐函数的偏导数 设n维隐函数为 ，由于变量之间偏