微积分-§2.4 由参数方程所确定的函数及隐函数的导数.ppt

第2章 导数与微分 §2.4　由参数方程所确定的函数及隐函数的导数 微积分 第2章 导数与微分 2.4 由参数方程所确定的函数及隐函数的导数 确定 与 之间的函数关系, 则称此函数关系所表达的函数为 由参数方程所确定的函数. §2.4 由参数方程所确定的函数及隐函数的导数 一、 由参数方程所确定的函数的导数 若参数方程 (2.4.1) 下面给出一种直接由参数方程(2.4.1)求其所确定函数导数的 方法. 微积分 第2章 导数与微分 在(2.4.1)式中, 假设函数 具有单调连续反函数 , 并能与函数 构成复合函数, 则函数 就是由参数方程(2.4.1)所确定的函数. 如再假设 , 都可导, 且 . 由复合函数的求导法则与反函数的求导法则, 可得 2.4 由参数方程所确定的函数及隐函数的导数 微积分 第2章 导数与微分 即 或 (2.4.2) 值得注意的是, 由参数方程(2.4.1)所确定的函数作为 的函数, 也应是 的函数, 其导数 因此, 应表示为 即 也是由参数方程确定, 但为方便起见, 常常以公式 (2.4.2)的形式呈现. 2.4 由参数方程所确定的函数及隐函数的导数 微积分 第2章 导数与微分 如果 , 还具有二阶导, 则可进一步求得 由方程(2.4.1)所确定函数的二阶导数，即 例 求曲线 在点 处的切线方程. 2.4 由参数方程所确定的函数及隐函数的导数 微积分 第2章 导数与微分 而曲线在该点的切线斜率是 所求的切线方程为 解 显然曲线上点 对应的参数值为 ， 即 例 求曲线 在点 处的切线方程. 2.4 由参数方程所确定的函数及隐函数的导数 微积分 第2章 导数与微分 例2 求参数方程 所确定的函数 的二阶导数 . 解 2.4 由参数方程所确定的函数及隐函数的导数 微积分 第2章 导数与微分 二、 隐函数的导数 若 在区间 内任取一值时,总有唯一确定 值与其对应, 它们满足 则方程 在区间 内确定了 关于 的函数, 一个 称此函数为隐函数. 为了区别起见, 将以 形式给出的函数称为显函数, 而把一个隐函数化成显函数的过程, 称为隐函数的显化. 如何计算隐函数的导数？ 下面通过具体例子介绍一种隐函数 求导的方法. 2.4 由参数方程所确定的函数及隐函数的导数 微积分 第2章 导数与微分 例3 求由方程 所确定的隐函数的导数 . 解 把 看作自变量, 而 看作是 的函数. 方程两边对 求导得 解出 , 得 2.4 由参数方程所确定的函数及隐函数的导数 微积分 第2章 导数与微分 例4* 求曲线 在点 处的切线方程. 解 把 看成是 的函数. 方程两边分别对 求导，得 解出 , 得 由导数的几何意义, 所求切线的斜率为 于是所求的切线方程为 即 . 2.4 由参数方程所确定的函数及隐函数的导数 微积分 第2章 导数与微分 例5 求由方程 所确定的隐函数的二阶导数 . 解 把 看成是 的函数. 方程两边对 求导，得 于是 利用已知方程上式化为 2.4 由参数方程所确定的函数及隐函数的导数 微积分 第2章 导数与微分 将 依然看成是 的函数. 上式两边再对 求导，得 利用已知方程上式化为 2.4 由参数方程所确定的函数及隐函数的导数 微积分 第2章 导数与微分 例 设函数 由方程 确定, 其中 具有二阶导数, 且 , 求 . 解 把 看成是 的函数. 方程两边对 求导，得 于是 又由 , 则有 2.4 由参数方程所确定的函数及隐函数的导数 微积分 第2章 导数与微分 上式两边再对 求导,并将上式代入整理得 有时为了便于计算,在对某些函数 进行求导时,可先对 的两边取对数, 并利用对数运算性质改变取对数后 的函数的运算构成,然后利用隐函数求导法求 的导数, 这种 方法就称为对数求导法. 2.4 由参数方程所确定的函数及隐函数的导数