第三章 极限与数的连续性3.doc

§3 函数的极限 典型的函数极限模型来自对自由落体运动，由平均速度求瞬时速度． ＝. 当无限变小时，它的变化趋势，即看它是否无限接近于一个数． 仿照数列极限的语言，把“接近”、“无限”等语言精确化，便得到一般的函数极限慨念的定义． 定义3.5 设在点附近(除点外)有定义，是一定数．若对任意给定的，存在，当0时，有 ||, 则称时函数当趋于时的极限，记为 或 ， ， 当时， 有 ，，当时，有 注1 自变量的趋向不同： 数列极限 ， 是对所有的成立！ 函数极限，是对所有中的成立！ 注2 函数在点是否有定义，并不影响时函数的极限． 注3 充当着数列极限中的角色．依赖于，一般说来，越小，也就 越小，一旦存在，就不是唯一的．我们关心的并不是取何值，而是 它的存在性。 注4 刻划了与的接近程度，而的任意性则刻划了“无限”接近。 是变量不是常量。它起着主导作用。 几何解释： 任给0，作直线和．这时必存在0，使得在两垂线与之间所夹的函数图形完全落在直线与之间的带子里(点除外)． 例 证明 ＝ 证明 由于当时， ＝. 知对任意，只要取，则当时，便有 ＝. 这就是要证明的. 例子表明，有了极限概念后，牛顿当时视是0又是非0的矛盾就解决了.现在不是一个常量，而是一个连续变量，它无限接近于0而不等于0，在这个过程中看函数的变化趋势，即极限． 类似于数列的情形，函数极限也是一种运算，是从函数在附近(不包括本身)的值去决定极限值．它和数列极限相同之处是，运算也是作用在无穷个函数值上．和数列不同之处在于，这些不能像数列那样“排出来”．也就是说，数列极限中的自变量取的是离散值(正整数)，而函数极限中的自变量则是连续量了． 例 证明＝，其中。 证明 由于 ＝。 对任给，取＝，则当时，有 . 即＝. 例 证明 ＝3 证明 已知 ＝＝， 限制1，则＝＋34。这时 4. 对任给，取＝，则当时，有 4. 这就证明了＝3 这两个例子用的方法仍然是“适当放大法”。由于是连续变量，我们一开始就需要对的变化范围作一个限制，限制以后就能适当放大，从而能较方便地找到一个． 类似于数列极限，函数极限也有相应于数列极限的一系列性质．其证明也是类似的， 数列是离散的，函数自变量是连续的，因此它们也有不同的地方！ 定理3.1′ 若，，则 i) ； ii) ； iii) ． 推论3.3 若，为常数，则 ． 定理3.2′(局部有界性) 若，则存在，使得在 上有界． 定理3.3′ (局部保号性) 若0，则存在，当 时，有0． 推论3.4 设 ， 若0, 则存在，当时，有 0; 若，则存在，当时，有 0. 定理3.1′的证明：只证ii） ＝ ≤＋||， 已知及，由极限的局部有界性, 存在，当时，有≤（0是常数）.又 由函数极限定义知，对任意给定的，存在0,当时，有 存在，当时，有 . 令＝，则当时，有 ＋ + 即. 相应地有下面各定理，他们的证明完全与数列情形类似 定理3.4′ 若＝0，且存在，在(，)(,)有界，则＝0. 此定理即是说，无穷小量与有界量的积是无穷小量 定理3.5′（局部保序性） 若＝，＝，且,则存在，当时，有. 定理3.6′（极限不等式） 若存在，当时，有 ≤，且＝，＝，则≤. 定理3.7′（极限唯一性）若极限存在，则极限是唯一的. 定理3.8′（夹迫性） 若存在，当时，有 ≤≤