《量子力学教程》周世勋版课后答案（三）.doc

第三章 力学量的算符表示 3.1 一维谐振子处在基态，求： (1)势能的平均值； (2)动能的平均值； (3)动量的几率分布函数。 解：(1)? (2) 或 (3) 动量几率分布函数为 3.2.氢原子处在基态，求： (1)r的平均值； (2)势能的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解：(1) (3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 ， 令 当为几率最小位置 ， ∴ 是最可几半径。 (4) (5) 动量几率分布函数 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 证：电子的电流密度为 在球极坐标中为式中为单位矢量 中的和部分是实数。 ∴ 可见， ， 3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为 原子磁矩与角动量之比为 这个比值称为回转磁比率。 解：(1) 一圆周电流的磁矩为 （为圆周电流，为圆周所围面积） (2)氢原子的磁矩为 在单位制中 原子磁矩与角动量之比为 3.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：转子绕一固定轴转动：转子绕一固定点转动： 解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 哈米顿算符 , 其本征方程为 (无关，属定态问题) 令 ，则 取其解为 (可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有 即 , ∴m= 0，±1，±2，… 转子的定态能量为 (m= 0，±1，±2，…) 可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为, A为归一化常数， 由归一化条件 ∴ 转子的归一化波函数为， 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。 (2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 无关，属定态问题，其本征方程为(式中设为的本征函数，为其本征值) 令 ，则有 此即为角动量的本征方程，其本征值为 其波函数为球谐函数∴ 转子的定态能量为 可见，能量是分立的，且是重简并的。 3.6 设t=0时，粒子的状态为求此时粒子的平均动量和平均动能。 解： 可见，动量的可能值为 动能的可能值为 对应的几率应为 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得 ∴∴动量的平均值为 3.7 一维运动粒子的状态是其中，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 解：(1)先求归一化常数，由， ∴ 动量几率分布函数为 (2) 3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。 解：由波函数的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为 ， 动量的几率分布函数为 先把归一化，由归一化条件， ， ∴ ∴ ∴ 3.9.设氢原子处于状态 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值 角动量平方有确定值为 角动量Z分量的可能值为 其相应的几率分别为， 其平均值为 3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 求粒子的能级和定态函数。 解：据题意，在的区域，，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数 () 由于在的区域内，。只求角动量为零的情况，即，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与有关，而与无关。设为，则粒子的能量的本征方程为 令 ，得其通解为 波函数的有限性条件知， 有限，则A = 0， ∴ 由波函数的连续性条件，有 ∵ ∴ ∴ ， ，其中B为归一化，由归一化条件得 ∴ ， ∴ 归一化的波函数 3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系 解： ， ， 3.12.粒子处于状态式中为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系 解：①先把归一化，由归一化条件，得 ∴