一个非恰当方程的两类特殊积分因子.docx

一个非恰当方程的两类特殊积分因子包金梅1 , 樊增平2(1. 内蒙古广播电视大学, 一个非恰当方程的两类特殊积分因子 包金梅1 , 樊增平2 (1. 内蒙古广播电视大学, 呼和浩特 010010; 2. 内蒙古师范大学 数学科学学院, 呼和浩特 010022) 摘 要 目的: 利用积分因子法求解微分方程. 方法: 采用猜想、归纳及推理的方法证明了文献 3 的推广定理. 结果: 得出了一个非恰当方程的两类特殊积分因子存在的充要条件, 并举例说 明了本文的结果. 结论: 此定理对研究和应用具有重要意义. 关键词 微分方程; 恰当方程; 积分因子 文章编号 100328078 (2007) 0320022206 中图分类号 O 175. 1 文献标识码 A Two spec ia l in tegra t in g fa c tor s of a n on - com p le te d if f eren t ia l equa t ion BAO J in -m e i1 , FA N Zen g-p in g2 (1. Inne r M o ngo lia B ro adca st T e lev isio n U n ive r sity, H uh ho t 010010, C h ina; 2. M a th em a t ic s Sc ience Co llege o f Inne r M o ngo lia N o rm a l U n ive r sity, H uh ho t 010022, C h ina) A bstra c t O bj ec t iv e: T o so lve th e d iffe ren t ia l equ a t io n w ith th e h e lp o f in teg ra t in g fac to r. M e th od s: H ypo th e sis, ep ago ge an d illa t io n. R esu l ts: N ece ssa ry an d su ff ic ien t co n d it io n fo r th e in teg ra t in g fac to r s o f th e equ a t io n is o b ta in ed an d som e ex am p le s a re g iven. C on c lu s ion: T h e th eo rem p lay s a sign if ican t ro le in th eo ry an d app lica t io n. Key word s d iffe ren t ia l equ a t io n; com p le te d iffe ren t ia l equ a t io n; in teg ra t in g fac to r M SC2000 34A 60 1 引言 我们知道将一阶显方程1 dy dx = f (x , y ) 写成微分的形式 f (x , y ) dx - dy = 0, 或者, 把 x , y 平等看待, 写成下面具有对称形式的一阶微分方程 M (x , y ) dx + N (x , y ) dy = 0, (1) 这里假设M (x , y ) , N (x , y ) 在某矩形邻域内是 x , y 的连续函数, 且具有连续的一阶偏导数. 这样的形式 有时便于求解. 定义 11 如果方程 (1) 的左边可以写成一个函数 u (x , y ) 的全微分, 即 M (x , y ) dx + N (x , y ) dy ≡ du (x , y ) ≡ 5u dx + 5u dy , 5x 5y 收稿日期: 2007204203. 作者简介: 包金梅, 女, 哲盟人, 内蒙古广播电视大学副教授, 研究方向为经济数学、数学思想与方法. 第 3 期包金梅, 等: 一个非恰当方程的两类特殊积分因子·23·则称 (1) 为恰当方程或全微分方程.此时 (1) 的通解就是 u (x , y ) = c, 其中 c 是任意实常数.定义 21如果存在连续的可微函数 Λ= Λ(x , y ) ≠0, 使得Λ(x , y )M (x , y ) dx + Λ(x , y )N (x 第 3 期 包金梅, 等: 一个非恰当方程的两类特殊积分因子 ·23· 则称 (1) 为恰当方程或全微分方程. 此时 (1) 的通解就是 u (x , y ) = c, 其中 c 是任意实常数. 定