冀教版（2024）新教材七年级数学下册第九章《9.3.2 用完全平方公式分解因式》教学课件.pptx

9.3.2用完全平方公式分解因式

1.因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？1.提公因式法2.平方差公式法a2-b2=(a+b)(a-b)

多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？你能试着将它们分解因式吗？a2＋2ab＋b2=a2＋ab＋ab＋b2=a(a＋b)＋b(a＋b)=(a＋b)(a＋b)a2－2ab＋b2=a2－ab－ab＋b2=a(a－b)－b(a－b)=(a－b)(a－b)=(a＋b)2=(a－b)2提公因式提公因式分组

和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路相似，把完全平方公式反过来，就得到整式乘法(a＋b)2=a2＋2ab＋b2(a－b)2=a2－2ab＋b2a2＋2ab＋b2=(a＋b)2a2－2ab＋b2=(a－b)2因式分解

前边我们学习了乘法公式：根据乘法公式，你能将多项式与多项式分解因式吗？

把整式的乘法公式——完全平方公式反过来就得到因式分解的完全平方公式：这样，我们也可以利用完全平方公式把一些多项式分解因式了.

试一试：将4m2+12mn+9n2进行因式分解.解：由4m2+12mn+9n2=（2m）2+12×（2m）×（3n）+（3n）2，设a=2m，b=3n由a2+2ab+b2=（a+b）2得4m2+12mn+9n2=（2m+3n）2

例1把下列各式分解因式：(1)t2＋22t＋121； (2)m2＋n2－mn解：(1)t2＋22t＋121=t2＋2×11t＋112=(t＋11)2；

a2+2ab+b2a2－2ab+b2我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式.观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方，并且符号相同是第一项和第三项底数的积的±2倍

简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.2ab+b2±=(a±b)2a2首2++尾2±2×首×尾=(首±尾)2

下面的多项式能否用完全平方公式分解因式?请说明理由.(1)x2＋10x＋25； (2)4m2－4m＋l；(3)4a2＋18ab＋9b2； (4)m2－4mn＋4n2.(1)能，x2＋10x＋25=x2＋2×5x＋52=(x＋5)2.(2)能，4m2－4m＋1=(2m)2－2×2m×1＋12=(2m－1)2.(3)不能，4a2＋18ab＋9b2≠(2a)2＋2×2a×3b＋(3b)2.(4)能，m2－4mn＋4n2=m2－2×m×2n＋(2n)2=(m－2n)2.

方法点拨：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成完全平方式的形式，就能用完全平方公式因式分解.

解：(2)(x＋y)2－4(x＋y)＋4=(x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22=(x＋y－2)2

把下列各式分解因式：(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4；(2)(3m－1)2＋(3m－1)＋.

例2把下列各式因式分解：(1)ax2＋2a2x＋a3；(2)(x＋y)2－4(x＋y)＋4；(3)(3m－1)2＋(3m－1)＋解：(1)ax2＋2a2x＋a3＝a(x2＋2ax＋a2)＝a(x＋a)2；(2)(x＋y)2－4(x＋y)＋4=(x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22=(x＋y－2)2

运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫作公式法

方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式，平方项为负的先提出负号．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．

练一练：把多项式4a2b＋4ab2＋b3因式分解，正确的是()A.a(2a＋b)2B.b(2a＋b)2C.b(a＋2b)2D.4b(a＋b)2B

1.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是()A．x2＋x＋1B．x2＋2x－1C．x2－1D．x2－6x＋9D

2.已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于()A．64B．48