第四章不积分学习指导书.doc

第四章 不定积分 教学与考试基本要求： 1．理解原函数与不定积分的概念； 2．会灵活运用不定积分的性质及基本积分公式求不定积分； 3．会灵活运用第一类换元积分法求不定积分，会用第二类换元积分法来求被积函数含有根式的不定积分； 4．会灵活运用分部积分法求不定积分； 5．会计算简单有理函数的不定积分. 4.1 不定积分的概念及性质 一、主要内容回顾 表4-1不定积分的概念及性质 原函数的概念 如果在某区间上可导函数的导函数为，即对每一，都有 或 则函数就称为在该区间上的原函数. 原函数存在的条件 如果函数在区间上连续，则在上存在可导函数，使，， 即连续函数一定有原函数. 注①若在上有原函数，则有无数多个原函数. ②任意两个原函数只相差一个常数. 不定积分的概念 在区间上，的所有原函数称为函数 在区间上的不定积分，记作. 若是在区间上的原函数，则，其中为任意常数. 基本积分公式 （1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. （7）. （8）. （9）. （10）. （11）.（12）. （13）. 不定积分的性质 （1）两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数的不定积分的和（差），即 . （2）求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号外面来，即 （为常数，且）. 不定积分与微分的关系 先积后微，形式不变；先微后积，相差一个常数.即 （1） 或 . （2） 或 . 二、基本题型及例题 题型I 判断题（对者打“√”，错者打“×”） （1） （ √ ） （2） （ × ） 解（1）由可知本题是对的. （2）由可知，.所以本题是错的. 题型II 选择题 （1）若的导函数是，则的一个原函数是（ ） A. B. C. D. （2）则（ ） A. B. C. D. 解（1）由已知，设是的一个原函数，即. 则，将被选答案代入验证得. 故选B. （2）将所给等式的两端对求导，得，故选A. 题型III 计算题 （1）； （2）； （3）. 解（1）. （2）. （3） . 题型IV 应用题 一曲线通过点，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的 方程. 解 由导数的几何意义，得 . 则. 又，所以. 故该曲线的方程为. 三、习题选解（习题4-1） 1．求下列不定积分 （3）； （9）； （10）； （13）； （15）； （17）. 解（3）. （9）. （10）. （13） . （15）. （17）. 3．已知曲线上任一点处的切线斜率为，且曲线通过点，求此曲线方程. 解 设曲线方程为. 由题意知：. 两边同时对积分，得. 又曲线过点，则代入上式，得. 故. 4．设物体的运动速度为，当时，物体所经过的路程，求物体的运动规律. 解 设运动方程为，由导数的物理意义可知： . 两边同时对求积分，得. 又时，代入上式，得. 故物体的运动规律为. 4.2 换元积分法 一、主要内容回顾 表4-2换元积分法公式及常用公式 第一类换元积分法 （凑微分法） 设法将被积函数凑成且的原函数容易求出，则有 ， 其中. 常用的凑微分公式 （1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. （7）. （8）. （9）. 第二类换元积分法 先对积分变量进行换元，简化被积函数的形式，再求积分，即 令，其中及其导数都连续，且，则 . 常用的几种变量代换 （1）被积函数中含有根式，令 或 . （2）被积函数中含有根式，令. （3）被积函数中含有根式，令. 二、基本题型及例题 题型I 填空题 （1） . （2）设是函数的一个原函数，则= . 解（1）. （2）是函数的一个原函数，所以. 则. 题型II 选择题 （1）函数的一个原函数为（ ） A. B. C. D. （2） ( ) A. B. C. D. 解（1），所以选A. （2）令，则，. 则 . 所以选B. 题型III 计算题 （1）； （2）； （3）； （4）. 解（1）. （2）. （3）令，则. 所以 . （4）令，则，. 所以