第四章 不定积分教案.doc
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高等数学课程建设组 PAGE 21
第四章 不定积分
教学目的:
理解原函数概念、不定积分的概念。
掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质,掌握换元积分法(第一,第二)与分部积分法。
会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
教学重点:
不定积分的概念;
不定积分的性质及基本公式;
换元积分法与分部积分法。
教学难点:
换元积分法;
分部积分法;
三角函数有理式的积分。
§4? 1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念
定义1 如果在区间I上? 可导函数F(x)的导函数为f(x)? 即对任一x?I? 都有
F ?(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx?
那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数?
例如 因为(sin x)??cos x ? 所以sin x 是cos x 的原函数?
又如当x ?(1? ??)时?
因为? 所以是的原函数?
提问:
cos x和还有其它原函数吗?
原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续? 那么在区间I上存在可导函数F(x)? 使对任一x ?I 都有
F ?(x)?f(x)?
简单地说就是? 连续函数一定有原函数?
两点说明?
第一? 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)? 那么f(x)就有无限多个原函数? F(x)?C都是f(x)的原函数? 其中C是任意常数?
第二? f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数? 即如果?(x)和F(x)都是f(x)的原函数? 则
?(x)?F(x)?C (C为某个常数)?
定义2 在区间I上? 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分? 记作
?
其中记号称为积分号? f(x)称为被积函数? f(x)dx称为被积表达式? x 称为积分变量?
根据定义? 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数? 那么F(x)?C就是f(x)的不定积分? 即
?
因而不定积分可以表示f(x)的任意一个原函数?
例1??因为sin x 是cos x 的原函数???所以
?
因为是的原函数???所以
?
例2. 求函数的不定积分?
解:当x0时???(ln x)???
(x0)??
当x0时???[ln(?x)]???
(x0)??
合并上面两式???得到
(x?0)??
例3 设曲线通过点(1? 2)? 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍? 求此曲线的方程?
解 设所求的曲线方程为y?f(x)? 按题设? 曲线上任一点(x? y)处的切线斜率为y??f ?(x)?2x,
,
即f(x)是2x 的一个原函数?
因为 ?
故必有某个常数C使f(x)?x 2?C? 即曲线方程为y?x 2?C?
因所求曲线通过点(1? 2)? 故
2?1?C? C?1?
于是所求曲线方程为y?x2?1?
积分曲线? 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线?
从不定积分的定义? 即可知下述关系?
?
或 ?
又由于F(x)是F ?(x)的原函数? 所以
?
或记作 ?
由此可见? 微分运算(以记号d表示)与求不定积分的运算(简称积分运算? 以记号表示)是互逆的? 当记号与d 连在一起时? 或者抵消? 或者抵消后差一个常数?
二、基本积分表
(1)(k是常数)?
(2)?
(3)?
(4)?
(5)?
(6)?
(7)?
(8)?
(9)?
(10)?
(11)?
(12)?
(13)?
(14)?
(15)?
例4 ?
例5 ?
例6 ?
三、不定积分的性质
性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和? 即
?
这是因为, ?f(x)?g(x).
性质2 求不定积分时? 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来? 即
(k是常数? k ?0)?
例7.
?
例8
?
例9 ?
例10 ?
例11
?
例12
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