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第四章 不定积分 辅导十二 不定积分及其性质 一、学习要求 理解原函数与不定积分的概念; 掌握不定积分的性质. 掌握不定积分的基本公式. 记住不定积分与原函数的关系, 求不定积分就是求出一个原函数再加上常数C. 记忆基本积分公式不能死记硬背, 要与基本初等函数的导数公式结合起来, 要想着被 积函数f (x)是不是某个基本初等函数的导数, 如果是 F(x) 的导数, 则f (x) 的不定积分就是 F(x)+C . 二、内容提要 1. 原函数 设f (x)是定义在某区间上的已知函数, 如果存在一个函数 F(x), 对于该区间上每一点 都满足 F ′(x)=f (x), 或dF(x)=f (x)dx, 则称函数F(x)是已知函数f (x)在该区间上的一个原函数. 注：连续函数一定存在原函数. 由于初等函数在其定义区间上都是连续的, 所以初等 函数在其定义区间上都有原函数. 2. 不定积分 函数f (x) 的所有原函数称为f (x) 的不定积分, 记作 f (x )dx . ∫ 若F(x)为f (x) 的一个原函数, 则 f (x ) dx =F (x )+C (其中C 为任意常数). ∫ 3. 不定积分的性质 ′ (1) [ f (x ) dx ] = f (x ) , 或d[ f (x )dx ]= f (x )dx (不定积分的导数等于被积函数). ∫ ∫ (2) ′( ) d ( ) ∫ F x x = F x +C , 或 d F (x )= F (x )+C (一个函数的导数的不定积分与这个函∫ 数相差一个任意常数). (3) ∫af (x)d x = a∫ f (x)d x (a 是常数, a≠0 )(不为零的常数因子可以移到积分号前). f x ±g x x = f x x ± g x x (代数和的积分等于积分的代数和). (4) ∫[ ( ) ( )]d ∫ ( )d ∫ ( )d 4. 基本积分公式 a 1 a+1 1 (1) ∫x d x = a + 1x +C (a≠− 1), (2) ∫x d x = ln|x |+C , x (3) ∫ax d x = a + C (a0, a≠ 1), (4) ∫ex d x =ex +C , ln a (5) ∫sin x d x =− cos x +C , (6) ∫cos x d x =sin x +C , (7) ∫sec2 x d x = tan x +C , (8) ∫csc2 x d x =− cot x +C , 1 1 (9) ∫ 1− x 2 d x = arcsin x +C , (10) ∫1+ x 2 d x = arctan x +C , 三、主要题型 题型 12− 1 根据定义求原函数与不定积分 例1. 求3x2 的原函数.