高中数学三角函数与解三角形总复习.doc

高三三角函数

一，公式定理

．

；

，

各函数在各象限符号

正弦定理=余弦定理

三角形面积公式S△ABC=absinC，

图形变换〔在X上面直接加减乘除〕〔4〕函数的图象与图象间的关系：

①函数的图象纵坐标不变，横坐标向左〔0〕或向右〔0〕平移个单位得的图象；

②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；

③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；

④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上〔〕或向下〔〕，得到的图象。

要特别注意，假设由得到的图象，那么向左或向右平移应平移个单位，

复杂三角函数单调性的求解。

解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性

二，三角函数典型例题

例1、函数y=cos2x+sinx·cosx+1〔x∈R〕,

〔1〕当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

〔2〕该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：〔1〕y=sin(2x+)+

法二如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y=+1=+1

化简得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0

∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3)≥0,解之得：≤y≤

∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}

〔2〕几种方法？？？？？/?、？？？

与斜三角知识挂钩

例3、函数

〔Ⅰ〕将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；

〔Ⅱ〕如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.(

由=0即

即对称中心的横坐标为

综上所述，，值域为.

与一元二次函数挂钩，一环扣一环。

例4．设二次函数，不管为何实数恒有.

求证：；

求证：；

假设函数的最大值为8，求的值.

(1)，，，恒成立.，，即恒成立.

，即.

〔2〕，，，.

〔3〕由题意可知：，

=1\*GB3①，=2\*GB3②，

由=1\*GB3①，=2\*GB3②可得b=,c=3.

在向量的框架下做

例5、平面直角坐标系有点

求向量和的夹角的余弦用表示的函数；

求的最值.

与实际联系，考情景题这种题一般把提议弄清楚，就好做了

例6、化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？〔设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2米〕.

DCBA1.2m2m1m

D

C

B

A

1.2m

2m

1m

，，

根据图像写三角函数

最值问题

①，设化为一次函数在闭区间上的最值求之；

②，引入辅助角，化为求解方法同类型①；

③，设，化为二次函数在上的最值求之；

④，设化为二次函数在闭区间上的最值求之；

⑤，设化为用法求值；当时，还可用平均值定理求最值；

⑥根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”．

〔二〕主要方法：①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤根本不等式法．

〔三〕例题分析：

例1．求函数的最大值和最小值．

解：．

当，，当，．

例2．求函数的最大、最小值．

解：原函数可化为：，

令，

那么，∴．

∵，且函数在上为减函数，∴当时，即时，；当时，即时，．

例3．求以下各式的最值：

〔1〕，求函数的最大值；

〔2〕，求函数的最小值．

解：〔1〕，当且仅当时等号成立．

故．

〔2〕设，那么原函数可化为，在上为减函数，∴当时，．

说明：型三角函数求最值，当，时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解．

例4．求函数的最小值．

解：原式可化为，引入辅助角，，得

，∴，由，

得或．

又∵，∴，且，故．∴，故．

例5．：，那么的最大值是．

解：∵，

∴，故当时，．

解斜三角形典型例题

1．根据解析式研究函数性质

例1〔天津〕函数．

〔Ⅰ〕求函数的最小正周期；〔Ⅱ〕求函数在区间上的最小值和最大值．

【相关高考1】〔湖南〕函数．

求：〔I〕函数的最小正周期；〔II〕函数的单调增区间．

【相关高考2】〔湖南〕函数，．

〔I〕设是函数图象的一条对称轴，求的值．〔II〕求函数的单调递增区间．

2．根据函数性质确定函数解析式

例2〔江西〕如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．

〔1〕求和的值；

〔2〕点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．

【相关高考1】〔辽宁〕函数〔其中〕，〔I〕求函数的值域；〔II〕〔文〕假设函数的图象与直线的两个相邻交点间的距