矩阵的逆和分块_ .ppt

小结 (A)初等变化 4,矩阵的乘法不满足______律. 1,克拉默法则：若D不等于0, 2,行列式的定义，性质，展开法则。 3, AA*=__E. 5, 6,A可逆当且仅当|A|____. 7,|A*|=___, 若|A|=D. . 当且仅当A*____. 8, 分块对角阵diag(A,B,C,D)的行列式＝____. 练习： 例７　证明 证 解 例4 (G) 矩阵及其运算 由此归纳出 (G) 矩阵及其运算 用数学归纳法证明 当 时，显然成立. 假设 时成立，则 时， (G) 矩阵及其运算 所以对于任意的 都有 (G) 矩阵及其运算 求第一行各元素的代数余子式之和 (F) 行列式的展开 例 解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成 (F) 行列式的展开 例４　计算 　　利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。 解 　　上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知 　　评注　本题所给行列式各行（列）都是某元 素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如 提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行 列式化成范德蒙行列式． 例９　证明 分析： 证 对阶数n用数学归纳法 评注 例3 证明 (E) 行列式的性质 证明 (E) 行列式的性质 (E) 行列式的性质 (E) 行列式的性质 解 (E) 行列式的性质 解 (E) 行列式的性质 (E) 行列式的性质 例６　计算 解 　　评注　本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后 按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数 可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接 计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用． * (A)初等变化 (A)初等变化 (A)初等变化 (A)初等变化 (A)初等变化 矩阵的逆 第一章（H） (H) 矩阵的逆 逆矩阵的概念和性质 定义 对于 阶矩 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵. ,使得 例 设 (H) 矩阵的逆 注：矩阵运算中E相当于“1”,逆矩阵相当于“倒数”。 可逆矩阵必定是个方阵 问题：逆矩阵唯一吗？ 定理 若矩阵 可逆则 。 　　　　　　 证明 若 可逆， (H) 矩阵的逆 定理 若 则矩阵 　可逆。　　　　　 定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 称为矩阵 的伴随矩阵. 如： 观察：A*第j列的元素是哪些代数余子式？ 性质 证明 则 (G) 矩阵及其运算 即： 定理 若 则矩阵 　可逆。　　　　　 证明： 由于 ，故 。 Q1,假设n阶矩阵A可逆，A*=___A 。 Q2, 若n阶矩阵A的行列式|A|=D,则｜A* |＝____? 推论:方阵 证明 逆矩阵的运算性质 (H) 矩阵的逆 Q,diag(1,2,3,4,5)的逆矩阵是___? 证明 (H) 矩阵的逆 证明 例1 求方阵 的逆矩阵. 解 逆矩阵的求法 (H) 矩阵的逆 同理可得 故 (H) 矩阵的逆 例4 (H) 矩阵的逆 (H) 矩阵的逆 解 例6 (H) 矩阵的逆 (H) 矩阵的逆 矩阵的分块 第一章（I） (I) 矩阵的分块 矩阵的分块 　　为了简化运算，经常采用分块法， 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. (I) 矩阵的分块 每一个小矩阵称矩阵C的子块. 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 则|C|=|A||B| 分块矩阵的运算规则 (I) 矩阵的分块 （1） （加法）设A,B是同型的分块矩阵 (I) 矩阵的分块 (I) 矩阵的分块 (I) 矩阵的分块 分块对角矩阵的行列式具有下述性质: (I) 矩阵的分块 Q:若Ai 可逆，则分块对角阵 逆矩阵是__？ (I) 矩阵的分块 例3 设 解 (I) 矩阵的分块 (I) 矩阵的分块 例1 设 解 (I) 矩阵的分块 则 (I) 矩阵的分块 又 (I) 矩阵的分块 于是 (I) 矩阵的分块 思考 (H) 矩阵的逆 如： 等价于 矩阵方程： 答