概率数学期望第四章讲精要.ppt

第四章 随机变量的数学期望 一、数学期望的概念 非欧几里得几何 非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲 ，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义是泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。 欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。 第五条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。 最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论： 　第一，第五公设不能被证明。 　第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。 　　这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。 罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明： 同一直线的垂线和斜线不一定相交。 垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。 不存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。 罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。 物质第五态—玻色-爱因斯坦凝聚态 如果物质不断冷下去、冷下去……一直冷到不能再冷下去，比如说，接近绝对零度(-273.16℃)吧，在这样的极低温下，物质又会出现什么奇异的状态呢？ 这时，奇迹出现了——所有的原子似乎都变成了同一个原子，再也分不出你我他了！这就是物质第五态——玻色-爱因斯坦凝聚态 1924年，年轻的印度物理学家玻色寄给爱因斯坦一篇论文，提出了一种关于原子的新的理论，在传统理论中，人们假定一个体系中所有的原子(或分子)都是可以辨别的，我们可以给一个原子取名张三，另一个取名李四……，并且不会将张三认成李四，也不会将李四认成张三。然而玻色却挑战了上面的假定，认为在原子尺度上我们根本不可能区分两个同类原子(如两个氧原子)有什么不同。 玻色的论文引起了爱因斯坦的高度重视，他将玻色的理论用于原子气体中，进而推测，在正常温度下，原子可以处于任何一个能级(能级是指原子的能量像台阶一样从低到高排列)，但在非常低的温度下，大部分原子会突然跌落到最低的能级上，就好像一座突然坍塌的大楼一样。处于这种状态的大量原子的行为像一个大超级原子。打个比方，练兵场上散乱的士兵突然接到指挥官的命令“向前齐步走”，于是他们迅速集合起来，像一个士兵一样整齐地向前走去。后来物理界将物质的这一状态称为玻色-爱因斯坦凝聚态(BEC)，它表示原来不同状态的原子突然“凝聚”到同一状态。这就是崭新的玻爱凝聚态。 玻爱凝聚态有很多奇特的性质，请看以下几个方面： 这些原子组成的集体步调非常一致，因此内部没有任何阻力。激光就是光子的玻爱凝聚，在一束细小的激光里拥挤着非常多的颜色和方向一致的光子流。超导和超流也都是玻爱凝聚的结果。 玻爱凝聚态的凝聚效应可以形成一束沿一定方向传播的宏观电子对波，这种波带电，传播中形成一束宏观电流而无需电压。 原子凝聚体中的原子几乎不动，可以用来设计精确度更高的原子钟，以应用于太空航行和精确定位等。在芯片技术、精密测量和纳米技术等领域都有美好的应用前景。 玻爱凝聚态的原子物质表现出了光子一样的特性正是利用这种特性，前年哈佛大学的两个研究小组用玻色-爱因斯坦凝聚体使光的速度降为零，将光储存了起来。 玻爱凝聚态的研究也可以延伸到其他领域，例如，利用磁场调控原子之间的相互作用，可以在物质第五态中产生类似于超新星爆发的现象，甚至还可以用玻色-爱因斯坦凝聚体来模拟黑洞。 珍奇的幻六边形---亚当斯47年的成果 稍事休息 四、数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C; 4. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2); （诸Xi独立时） 注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y独立 五、数学期望性质的应用 例1 求二项分布的数学期望 若 X~B(n,p)， 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. 现在我们来求X的数学期