第7章多元函数积分学16-16(7.2.8 通量与散度 习题课).pdf

高等数学A 第7章 多元函数积分学 7.2 曲线曲面积分 7.2.8 通量与散度 中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组 7.2 曲线曲面积分 7.2.8 通量与散度 一、场的概念 通 量 二、通量与散度 与 三、环流量与旋度 散 四、向量微分算子 度 小结和思考题 内容小结 曲线积分的计算法 习题课 第二类曲线积分计算方法 曲面积分的计算法 曲线积分和曲面积分以及相关的定理，在电磁 学、流体力学、理论力学和理论物理等分支中，有 着广泛的应用。 场是物理学中最重要的概念之一，比如通常所 说的引力场、磁力场和温度场等等，如撇开具体的 物理含义，可从数学的角度来定义和研究场。 一、场的概念 1 . 定义：场是发生物理现象的空间部分。如人们熟 悉的重力场、电磁场等。 ２. 数量场和向量场 若在全空间或者其中某一区域V 中的每一点, 都有一个数量与之对应, 则称在V上定义了一个 数量场; 数量函数f (x , y , z). 若在V 中的每一点, 都有一个向量与之对应, 则称在V上定义了一个向量场; 向量函数 F (x , y , z) (P (x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)). ３．不定常场和定常场 如果场中每一点所对应的量不随时间变化， 这样的场称为定常场或稳定场； 如果场中每一点所对应的量随时间变化， 这样的场称为不定常场或不稳定场． ４．定常的数量场相当于一个空间区域及在 上定义的数量函数 ． u u(x, y, z) 定常的向量场相当于一个空间区域及在 上定义的向量函数      A A(x , y ,z ) P (x , y ,z )i Q (x , y ,z ) j R (x , y ,z )k 二、通量与散度 引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为 v(x ,y ,z ) P(x ,y ,z ) i Q(x ,y ,z ) j R(x ,y ,z ) k 设为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面的流量为  P d y d z Q d z d x Rdx d y  由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为     P cosQ cos R cos d S  v n d S 若为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为  P d y d z Q d z d x Rdx d y n 当 0 时, 说明流入的流体流量少于