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第 5 章 多元函数积分学应用 第5章多元函数积分学应用 §1 面 积 (1) 所求量 Q 分布在区域?上，且对?具有可加性： ????i Q??Qi Q=??Qi (2)当?? i 很小时，近似地有?Qi ? f (Xi )??i ： dQ=f (X)d? ??? QQ d ??? ?Xf d)( 1. 微元方法 第5章多元函数积分学应用 2. 平面图形面积 ??? D DA ?d 例1. 求由抛物线 y=(x?2)2+1和 直线 y=2x 所围图形的面积. y= 2x y=(x?2)2+1 10 0 1 2 5 2 5 第5章多元函数积分学应用 3. 曲面面积 ?? ? ? ? SA d (1)?: z=z(x, y), 投影区域Dxy且 z(x, y)?C 1(Dxy ). yx y z x zS dd)()(1d 22 ? ? ? ? ? ??? yx y z x zA xyD dd)()(1 22?? ? ? ? ? ? ??? Dxy ? x y z 0 第5章多元函数积分学应用 (2)?: x=x(y, z), 投影区域Dyz zy y z x zA yzD dd)()(1 22?? ? ? ? ? ? ?? (3)?: y=y(x, z), 投影区域Dxz zx z y x yA xzD dd)()(1 22?? ? ? ? ? ? ?? 第5章多元函数积分学应用 例2. 求球面x2+y2+z2=a2 含在圆柱面x2+y2=ax (a0) 内部的那部分面积. y z x z y x Dxy ? 第5章多元函数积分学应用 4. 柱面面积 以 xOy 平面上曲线 L为准线，母线平行于 z 轴的 柱面被曲面 ?：z=z(x, y)所截，位于 ? 与 xOy 坐标 面之间部分的面积为 syxzA L d),(?? 这是因为在L上取ds, 则 syxzA d),(d ? ?? L AA d 故有 ?? L s yx )d,z( z x yO L (x, y) ds z(x, y) ? ? 第5章多元函数积分学应用 y z x 例3. 求柱面x2+y2=ax 含在球面x2+y2+z2=a2 (a0)内 部的那部分面积. z y x L 第5章多元函数积分学应用 §2 体积与弧长 ??? ? ? ? vV d 例1. 求由旋转抛物面y=x2+z2 和抛物柱面 及 平面y=1所围立体体积. yx 2 1 ? y x z O 1 2zyx ?? yx 2 1 ? x 10 z y 2zyx ?? 1. 立体体积 第5章多元函数积分学应用 例2. 求圆柱体x2+y2≤ax (a0) 被球面x2+y2+z2=a2 截得的含在球面内的立体的体积. y z x z y x D 第5章多元函数积分学应用 例3. 计算由椭圆抛物面z=x2+2y2及抛物面z=2?x2 所围立体体积. Dx z y 第5章多元函数积分学应用 ?? LL sS d 2. 曲线弧长 例4. 求空间曲线?: x=3t, y=3t2, z=2t3从点(0, 0, 0) 到点(3, 3, 2)的一段弧长. 第5章多元函数积分学应用 §3 物理中的应用 1. 物体的质量 若几何形体 ?的质量分布密度为 ?(X), X?? 则 dM= ?(X)d? 故 ??? ?XM d)(? (1) 平面薄板 D, 质量面密度?(x, y)，则 ?? d),(??? D yxM (2) 立体?：质量体密度 ? (x, y, z)，则 vzyxM d),,(??? ? ? ? 例1. 设球面 x2+y2+z2=2 及锥面 22 yxz ?? 围成立体?，其质 量体密度与立体中的点到球心的 距离之平方成正比，且在球面上 等于1. 试求该立体的质量. 第5章多元函数积分学应用 (3) 曲线型物体 L(? ) ：质量线密度? (x, y) (? (x, y, z)) syxM L d),(?? ? )d),,(( szyxM ??? ? (4) 曲面型物体 ?：质量面密度? (x, y, z) SzyxM d),,(?? ? ? ? z y x a 4 ? 第5章多元函数积分学应用 例2. 一个圆柱面 x2+y2=R2介于平面 z=0, z=H 之间， 其质量面密度等于柱面上的点到原点的距离之平方 的倒数，求其质量. ?2 ?1 x y RR z H ? ?2 ?1 x y RR z H ? 第5章多元函数积分学应用 2. 物体的质心 (1) 平面薄板D 由静力学, xOy平面上n个质点(x1 , y1 ), …, (xn , yn ), 其质量分别为m1