多元函数积分学复习课.ppt

多元函数积分学复习课 ? 在 xOy 面的投影区域 D? 解 ?? 例7 求由以下曲面所围立体W的体积: 知识点 作图 ? 在 xOy 面的投影区域 D? 解 ?? 例7 求由以下曲面所围立体W的体积: 知识点 例8 已知曲面S1与曲面S2, 它们的方程为 (1) 求两曲面所围成的立体W的体积V; (2) 求立体W的S1部分的表面积A. ? 在 xOy 面的投影区域为 解 知识点 例8 已知曲面S1与曲面S2, 它们的方程为 (1) 求两曲面所围成的立体W的体积V; (2) 求立体W的S1部分的表面积A. 解 知识点 利用球面坐标计算体积 例8 已知曲面S1与曲面S2, 它们的方程为 (1) 求两曲面所围成的立体W的体积V; (2) 求立体W的S1部分的表面积A. 解2 知识点 例9 已知 L 为圆周 x2+y2=2ax (a0), 计算 解1 利用圆的标准参数方程来计算. 知识点 例9 已知 L 为圆周 x2+y2=2ax (a0), 计算 解2 利用圆的极坐标方程来计算. 知识点 记 D 为圆域 x2+y2?2x, 解 由格林公式有 例10 设 L 是正向圆周 x2+y2 = 2x? 计算 知识点 例11 已知 L 为圆周 x2+y2=2y 上从原点 O 按逆时针方向到点 A(0,2) 的圆弧, 计算 解 知识点 例11 已知 L 为上半圆周 x2+y2=2x 上从原点 O 到点 A(1,1) 的圆弧, 计算 解 记 所以曲线积分与路径无关. 知识点 例12 验证? 在整个xOy面内? 记 解 所以存在u(x,y), 使 是某个函数的全微分? 并求出一个这样的函数? 知识点 ? 的侧面方程, ? 在 xOy 面的投影区域 D 的边界曲线. 围: 求围定顶 ? 的顶面和底面, 顶: 所给曲面方程中含 z 的方程表示. ? 的顶面与底面的交线关于 xOy 面的投影柱面方程. 所给曲面方程中不含 z 的方程; 特殊区域的球面坐标表示 球体: 上半球体: 球体在第一卦限部分: 球顶锥体: 球面方程 特殊区域的球面坐标表示 球顶锥体: 球面方程 球体: 如图平面图形绕 z 轴旋转一周而成的 区域: 例5 化 为三次积分,其中W由以下曲面所围: 例5 化 为三次积分,其中W由以下曲面所围: 例5 化 为三次积分,其中W由以下曲面所围: 例7 求由以下曲面所围立体W的体积: 例7 求由以下曲面所围立体W的体积: 例7 求由以下曲面所围立体W的体积: 上页 下页 结束 返回 首页 上页 下页 结束 返回 首页 一、内容提要 上页 下页 铃 结束 返回 首页 二、典型例题 内容提要 二重积分的定义 以闭区域D为底? 曲面z?f(x? y)为顶的曲顶柱体的体积为 占有闭区域D? 面密度为?(x? y)的平面薄片的质量为 定理 连续函数在有界闭区域上的二重积分必定存在? 内容提要 二重积分的性质 性质1 设c1、c2为常数? 则 性质2 如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2? 则 性质3 内容提要 二重积分的性质 性质5 设M、m分别是f(x? y)在闭区域D上的最大值和最小 值? ?为D的面积? 则有 性质6(二重积分的中值定理) 设函数f(x? y)在闭区域D上连 续? ? 为D的面积? 则在D上至少存在一点(?? ?)使得 性质4 如果在D上? f(x? y)?g(x? y)? 则有不等式 内容提要 如果D是X型区域: D={(x, y)|j1(x)?y?j2(x), a?x?b}, 则 化二重积分为二次积分 如果D是Y型区域: D={(x, y)|y1(y)?x?y2(y), c?y?d}, 则 内容提要 对称性问题 设 D 关于 y 轴对称. (1)若 f(-x, y) = -f(x, y), 则 (2)若 f(-x, y) = f(x, y), 则 其中 D1 为 D 在 y 轴右半部分. 提示: 内容提要 利用极坐标计算二重积分 坐标变换公式: 面积元素: 如果积分区域可表示为D: j1(q)???j2(q), a?q?b,