2024_2025学年新教材高中数学第4章幂函数指数函数和对数函数4.2计算函数零点的二分法练习含解析湘教版必修第一册.docx
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计算函数零点的二分法
课后篇巩固提升
必备学问基础练
1.已知f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)0,f(1.5)0,f(1.25)0,则方程的解落在区间()
A.[1,1.25]
B.[1.25,1.5]
C.[1.5,2]
D.不能确定
答案B
解析∵f(1)0,f(1.5)0,f(1.25)0,
∴f(1.25)f(1.5)0,
因此方程的解落在区间[1.25,1.5]内,故选B.
2.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点旁边的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f(1)=-2
f(1.5)=
0.625
f(1.25)=
-0.984
f(1.375)=
-0.260
f(1.4375)=
0.162
f(1.40625)=
-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(误差不超过0.02)为()
A.1.4375
B.1.375
C.1.25
D.1.422
答案D
解析由表格中参考数据可得f(1.43750)0,f(1.40625)0,又因为题中要求误差不超过0.02,所以方程的近似解为1.422,故选D.
3.(多选题)下列关于函数y=f(x),x∈[a,b]的说法错误的是()
A.若x0∈[a,b]且满意f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点
B.若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值
C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不肯定是函数f(x)的零点
D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似值
答案BCD
解析x0∈[a,b]且满意f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点,所以A正确;例如f(x)=x2,不行以用二分法求零点,所以B错误;方程f(x)=0的根肯定是函数f(x)的零点,所以C错误;用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,所以D错误.故选BCD.
4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实数解,取区间中点x0=2.5,那么下一个有解区间为.?
答案[2,2.5]
解析因为f(2)0,f(2.5)0,f(3)0,
所以f(2)f(2.5)0,f(2.5)f(3)0.
所以下一个有解区间应为[2,2.5].
5.下表是连续函数f(x)在区间[1,2]上一些点的函数值:
x
1
1.25
1.375
1.5
2
f(x)
-2
-0.984
-0.260
0.625
6
由此可推断,方程f(x)=0的一个近似解为(误差不超过0.1).?
答案1.4375
解析由题中表格对应的数值可得,方程的近似解为1.4375.
6.已知函数f(x)=lnx+2x-6.
(1)证明:f(x)有且只有一个零点;
(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于.
(1)证明令x1x20,则f(x1)-f(x2)=ln+2(x1-x2),且1,x1-x20.
∴f(x1)f(x2),
即f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)至多有一个零点.
又f(2)=ln2-20,f(3)=ln30,
∴f(2)·f(3)0,
即f(x)在(2,3)内有一个零点.
∴f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.
(2)解∵f(2)0,f(3)0,取x1=,f=ln-10,
∴f(3)f0,即f(x)零点x0∈,3.
取x2=,则f=ln0.∴ff0.
∴x0∈.
又=,
∴满意题意的区间为.
关键实力提升练
7.(2024江西南昌校级月考)用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间[0,2]上的零点,要求误差不超过0.01时,计算中点函数值的次数最少为()
A.6 B.7 C.8 D.9
答案B
解析依据题意,原来区间[0,2]的长度等于2,每经过二分法的一次操作,区间长度变为原来的一半,则经过n次操作后,区间的长度为,依题意得0.02,所以2n100,所以nlog2100.因为6=log264log2100log2128=7,所以n≥7.则计算中点函数值的次数最少为7.故选B.
8.用二分法求方程lnx-=0在[1,2]上的解时,取中点c=1.5,则下一个有解区间为()
A.[1,1.25] B.[1,1.5]
C.[1.25,1.5] D.[1.5,2]
答案D
解析令f(x)=lnx-,因为f(1)=-10,f(2)=ln2-=ln2-lnln2-ln=ln2-ln2=0,
f(1.5)=ln=lnlne=lnlne2=ln-lne2(ln4-2)=0,所以下一个有解区间为[1.5,2].故选D.
9.(多选题)若函数f(x)的图