2024_2025学年新教材高中数学第4章幂函数指数函数和对数函数3.2对数的运算法则练习含解析湘教版必修第一册.docx
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对数的运算法则
课后篇巩固提升
必备学问基础练
1.(2024河南郑州高一期末)已知alog32=1,则2a=()
A. B.1 C.2 D.3
答案D
解析alog32=1=log32a,故2a=3.故选D.
2.(2024吉林公主岭高一期末)log2+lg25+lg4++9.80=()
A.1 B.4 C.5 D.7
答案C
解析原式=log22+lg(25×4)++1=2+2+1=5.故选C.
3.(多选题)(2024江苏连云港高一期末)若x0,y0,n≠0,m∈R,则下列各式恒等的是()
A.lgx+lgy=lg(x+y)
B.lg=lgx-lgy
C.loym=logxy
D.lg
答案BCD
解析因为x0,y0,n≠0,m∈R,则lgx+lgy=lg(xy),故A错误;
lg=lgx-lgy,故B正确;loym=logxy,故C正确;
lg,故D正确.故选BCD.
4.若2lg(x-2y)=lgx+lgy(x2y0),则的值为()
A.4 B.1或
C.1或4 D.
答案D
解析∵2lg(x-2y)=lgx+lgy(x2y0),
∴lg(x-2y)2=lgxy,
∴(x-2y)2=xy,
∴x2-5xy+4y2=0,∴(x-y)(x-4y)=0,
∴x=y或x=4y.∵x-2y0,且x0,y0,∴x≠y,∴.
5.计算:2+lg4+2lg5-eln3=.?
答案2
解析由题意得2+lg4+2lg5-eln3=(33+(lg4+lg25)-eln3=3+2-3=2.
6.log35·log46·log57·log68·log79=.?
答案3
解析log35·log46·log57·log68·log79==3.
7.计算:
(1);
(2)lg-lg+lg-log92·log43.
解(1)原式==1.
(2)(方法1)原式=lg+lg
=lg=lg1-=-.
(方法2)原式=(lg1-lg2)-(lg5-lg8)+(lg5-lg4)-=-lg2+lg8-lg4-=-(lg2+lg4)+lg8-=-lg(2×4)+lg8-=-.
关键实力提升练
8.(2024北京昌平高一期末)已知2x=3,log2=y,则2x+y=()
A.3 B.4 C.8 D.9
答案A
解析由2x=3可知x=log23,且y=log2.
2x+y=2log23+log2=log232×=log28=3.
9.(2024浙江嘉兴高一期末)设lg3=a,lg5=b,则log212的值为()
A. B.
C. D.
答案C
解析依据换底公式和对数运算性质得log212=.故选C.
10.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么()
A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac
C. D.
答案AD
解析由题意,设4a=6b=9c=k(k0),
则a=log4k,b=log6k,c=log9k,
对于选项A,由ab+bc=2ac,可得=2,因为=log69+36=2,故A正确,B错误;
对于选项C,=2lo4+logk6=logk96,=2logk9=logk81,
故,故C错误;
对于选项D,=2logk6-logk4=logk9,=logk9,故,故D正确.
11.解下列对数方程:
(1)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2;
(2)logx4+log2x=3.
解(1)由log(2x-1)(5x2+3x-17)=2,
得
即
解得x=2或x=-9(舍).
(2)由logx4+log2x=3(x0,且x≠1),
得2logx2+log2x-3=0,
令log2x=t,得+t-3=0,即t2-3t+2=0,
解得t=1或t=2.当t=1时,可得log2x=1,即x=2;
当t=2时,可得log2x=2,即x=4.
经检验x=2,x=4均符合题意.
故原方程的解为x=2或x=4.
12.(2024湖南长沙高一期末)某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.
(1)求常数k的值;
(2)试计算污染物削减到30%至少须要多长时间.(精确到1h)
(参考数据:ln0.2≈-1.61,ln0.3≈-1.20,ln0.4≈-0.92,ln0.5≈-0.69,ln0.9≈-0.11)
解(1)由已知得当t=0时,P=P0;
当t=5时,P=90%P0