2024_2025学年新教材高中数学第四章幂函数指数函数和对数函数4.1方程的根与函数的零点学案湘教版必修第一册.doc

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方程的根与函数的零点

新课程标准解读

核心素养

1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系

数学抽象、直观想象

2.了解函数零点存在定理，会推断函数零点的个数

直观想象、逻辑推理

路边有一条河，小明从A点走到了B点．视察下列两幅图．

[问题]推断哪一幅能说明小明肯定曾渡过河？

学问点函数零点存在定理

当x从a到b渐渐增加时，假如f(x)连续改变且有f(a)·f(b)0，则存在点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0，这个x0也就是方程f(x)＝0在(a，b)内的一个解．

特殊的，当f(x)在[a，b]上单调递增或单调递减且f(a)·f(b)0，f(x)在(a，b)内恰有eq\a\vs4\al(一)个零点．

1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连绵不断的一条曲线，f(a)f(b)0时，能否推断函数在区间(a，b)上的零点个数？

提示：只能推断有无零点，不能推断零点的个数．

2．函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是肯定有f(a)·f(b)0?

提示：不肯定，如f(x)＝x2在区间(－1，1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝10.

1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连绵不断的曲线，且有f(a)f(b)0，则函数在区间(a，b)内有唯一的零点．()

(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上f(a)·f(b)0，则在区间(a，b)内肯定没有零点．()

(3)“f(a)f(b)0”是“函数y＝f(x)(f(x)的图象在[a，b]上是连绵不断的)在区间(a，b)内至少有一个零点”的充分不必要条件．()

答案：(1)×(2)×(3)√

2．函数f(x)＝2x－eq\f(1,x)的零点所在的区间是()

A．(1，＋∞) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))

C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))

答案：B

求函数的零点

[例1](1)求函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x0))的零点；

(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．

[解](1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；

当x0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2.

所以函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x0))的零点为－3和e2.

(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，则b＝3a，

故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．

令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，

解得x＝0或x＝－eq\f(1,3).

所以函数g(x)＝bx2＋ax的零点为0和－eq\f(1,3).

eq\a\vs4\al()

函数零点的求法

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；

(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．

[跟踪训练]

1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是()

A．－eq\f(1,2)，－1 B．eq\f(1,2)，1

C.eq\f(1,2)，－1 D．－eq\f(1,2)，1

解析：选B方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝eq\f(1,2)，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是eq\f(1,2)，1.

2．若f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x－1，x≥2或x≤－1，,1，－1x2，))则函数g(x)＝f(x)－x的零点为________．

解析：求g(x)的零点即求f(x)＝x的根，

∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥2或x≤－1，,x2－x－1＝x))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\c