[高等数学习题数的应用.doc

，即知在内可导， 由得， 即在内存在使拉格朗日中值公式成立. (3) 显然函数在区间上连续，在开区间内可导，且 于是满足柯西中值定理的条件.由于 令得取则等式 成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性. 2．不求导数函数的导数, 判断方程有几个实根，并指出这些根的范围. 解 因为所以在闭区间和上均满足罗尔定理的三个条件，从而，在内至少存在一点使即是的一个零点； 又在内至少存在一点使即是的一个零点. 又因为为二次多项式，最多只能有两个零点，故恰好有两个零点，分别在区间和. 3．设函数是定义在处处可导的奇函数，试证对任意正数a，存在, 使 . 证 因处处可导，则在上应用拉格朗日中值定理：存在，使 . 由是奇函数，则上式为, 故有 . 4．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： (1) 当时, ; (2) 若, 则. 证(1) 当时,设则在上满足拉格朗日定理的条件.故 由且得： . (2) 若,不妨设，令则在上满足拉格朗日定理的条件.故 从而. 5．应用拉格朗日中值定理的推论证明下列恒等式： (1) ; (2) . 证(1) 设, 又 即 (2)设, 因为， 所以 ,是常数. 又 , 即 故 . 6．设函数在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点, 使 证 作辅助函数则在上满足柯西中值定理的条件，故在内至少存在一点使 即 习题4-2 1．写出函数在处的四阶泰勒公式. 解 ， 于是所求泰勒公式为 其中在1与之间. 2. 写出函数在处的带皮亚诺余项的阶泰勒公式. 解 ， 于是所求的带皮亚诺余项的阶泰勒公式为 3．求下列函数的带皮亚诺余项的阶麦克劳林公式： (1) ； (2) . 解 (1)因为 所以 . (2) 由 知 故 . 4. 用泰勒公式计算下列极限： (1) ； (2) . 解 (1) 又 从而 (2) 又 从而 . 5. 利用四阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差： (1) ； (2) . 解 (1) 上式中，取得 以代入得 ，(取小数点后四位) 其误差 . (2) . 取得 (取小数点后四位) 其误差 习题4-3 1．计算下列极限： (1) ； (2) ; (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ; (8) ; (9) ; (10) ; (11) ; (12) ; (13) ; (14) ; (15) ; (16) ; (17) ; (18) ; 解 (1) ； (2) =-2; (3) ； (4) =1； (5) ； =3 (6) =-1； (7) ; (8) ; (9) ; (10) ; (11) ; (12) ; (13) ; (14) ; (15) , 又 故=; (16) =, 又, 故==1; (17) ; (18) . 2. 设,，,求. 解 . 习题4-4 1．判断函数的单调性. 解 又 在内， 函数单调减少； 在内， 函数单调增加. 2．判断函数在区间的单调性. 解 ,在区间，函数单调减少. 3．求下列函数的单调区间： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解 (1) 解方程得 当时， 在上单调增加； 当时， 上单调减少； 当时， 在上单调增加. (2) , 解方程得， 在内，在内单调减少； 在内，在单调增加. (3) 令解得在处不存在. 在内，函数单调增加；在内，函数单调增加；故函数在内函数单调增加； 在内，函数单调减少； 在内，函数单调增加. (4) ,, 令解得 在内，函数单调增加； 在内，函数单调减少； 在内，函数单调减少； 在内，函数单调增加. 4．当时，应用单调性证明下列不等式成立： (1) ； (2) . 证 (1) 令, 则 . 当时, 在上单调增加， 当时，即， 故. (2)设则 在上连续，且在内可导， 在上单调增加， 当时，即 又设 因为在上连续，在内可导，且 当时，又 故当时， 所以 综上，当时，有，证毕. 5．证明方程有且只有一个小于1的正根. 证 令， 因在闭区间连续，且. 根据零点定理在内有一个零点,即方程至少有一个小于1的正根. 在内， 所以在内单调增加，即曲线在内与轴至多只有