高等数学5_习题课高等数学5_习题课.pdf
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习题课 第五章
定积分及其相关问题
一、与定积分概念有关的问题的解法
二、有关定积分计算和证明的方法
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一、与定积分概念有关的问题的解法
1. 用定积分概念与性质求极限
2. 用定积分性质估值
3. 与变限积分有关的问题
1 n x
x e
例1. 求 lim ∫0 dx . x
n
→∞ 1+e
n x
x e
解: 因为 0 ≤ ≤x n , 所以
[x0,∈1] 时, x
1+e
1 n x 1 1
x e n
0 ≤ ∫0 1+ex dx ≤x ∫0 x d n +1
1 n x
x e
利用夹逼准则得 lim ∫0 d x 0x
→∞
n 1+e
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说明:
1) 思考例1下列做法对吗 ?
利用积分中值定理
n ξ
ξ e
原式 lim 0
ξ
n
→∞ 1+e
n ,且
不对 ! 因为ξ 0 1. ≤ξ ≤
依赖于
2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .
如, P265 题4
− 1≤x p 1 p −1 x p(0 ≤1 1) ≤x ≤
1+x 1+x p
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⎡sin π sin 2π sin nπ⎤
例2. 求 n n + + + n (考研98 )
I lim ⎢ 1 1 ⎥
n→n∞ ⎢⎣n +1 +2 n +n ⎦⎥
解:将数列适当放大和缩小,
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