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P.124 习题 1．试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点，使： （1）， 解 （1）因为在连续，在可导，且，所以由Rolle定理，，使得。 2．证明：（1）方程（这里c为常数）在区间内不可能有两个不同的实根； 证明 设，由于方程在内没有根，所以（由P.120，例1）方程在区间内不可能有两个不同的实根。 （2）方程（n为正整数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。 证明 设，于是。当n为偶数时，n-1为奇数，故方程至多有一个实根（因为幂函数严格递增），从而方程至多有两个实根； 当n为奇数时，n-1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程至多有两个实根，从而方程当n为奇数时至多有三个实根。 3．证明：若函数和均在区间上可导，且，，则在区间上和只相差一常数，即（c为某一常数） 证明 令，则在区间上可导，且，由推论1，存在常数c，使得，即 4．证明 （1）若函数在上可导，且，则 （2）若函数在上可导，且，则 （3）对任意实数，都有 证明 因为在上可导，所以在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得 （1）因为，所以，从而有 （2）因为，所以 （3）不妨设，正弦函数在上连续，在可导，于是，使得 5．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1），其中 证明 设，则在上连续且可导，所以在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得，因为，所以，从而 （2），其中 证明 设，则在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得。因为 ，所以，从而。 6．确定下列函数的单调区间： （1） （2） （3） （4） 解 （1），令，得 当时，，递增；当时，，递减。 （2）的定义域为。，令，得 当时，，递减；当时，，递增。 （3）的定义域为。，令，得 当时，，递增；当时，，递减。 （4）的定义域为。，故在其定义域 递增。 7．应用函数的单调性证明下列不等式： （1）， 证明 设，则在连续，且。因为 ，，故在严格单调递增，又因在连续，于是，从而，。 （2）， 证明 先证，为此证明：。设，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递减，于是，从而，。 其次证明：。设，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递增，又因在连续，于是，从而，。 （3）， 证明 先证：，。令，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递减，又因在连续，于是，从而，。 其次证明：，。令，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递增，又因在连续，于是，从而，。 8．以记由, , 三点组成的三角形面积, 试对应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理. 证明 因为, 若在连续, 在可导, 则易见也在连续, 在可导, 且. 故由罗尔定理知, 存在, 使得. 而 , 故 . P.132习题 1．试问函数在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？ 解 因为，故当时，，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间[-1, 1]上不能用柯西中值定理。 2．设函数在上可导，证明：存在，使得 证明 设，则在上连续并可导，且，由Rolle定理，存在，使得，从而 3．设函数在点处具有连续的二阶导数。证明： 证明 因为在点处具有连续的二阶导数，所以在点的某邻域内具有一阶导数，于是由洛必达法则，分子分母分别对求导，有 4．设。证明存在，使得 证明 设，，则都在连续，在可导，且都不等于0，。由柯西中值定理，存在，使得，即 5．求下列不定式极限 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 解 所以 （8） 解 因为，所以 （9） 解 因为 所以 （10） （11） （12） 所以 P.141 习题 1．求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式 （1） 解 ，， ，……， 麦克劳林公式为： （2）到含有的项 解 因为，，所以。在此式的两端，用莱布尼兹公式，分别对求阶导数，得 令得递推公式： 因为有，于是，。 又因为，，所以当为偶数时， 从而 （3）到含有的项 解 ， ， ， ， ， 2．按例4的方法求下列极限 （1） （2） （3） 3．求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式： （1），在处； 解 ；，；，； ，；。所以 （2），在处 解 ；，； ，。所以 ， P.146习题 1．求下列函数的极值 （1） 解 ，令得稳定点。列表讨论： 0 + 0 + 0 － ↗ 无极值 ↗ 极大值为 ↘ （2） 解 ，令得稳定点。列表讨论： -1 1 － 0 + 0 － ↘ 极小值为-1 ↗ 极大值为1 ↘ （3） 解 ，令得稳定点。列表讨论： 1 － 0 +