2016届人教A版 空间向量与立体几何 测试题3.doc

2016届人教A版 空间向量与立体几何 测试题 一、选择题 1．空间的一个基底所确定平面的个数为（　Ｃ　） Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个以上 2．已知关于面的对称点为，而关于轴的对称点为，则（Ｂ　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3．已知向量，若，设，则与轴夹角的余弦值为（　Ｄ　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4．若向量的起点与终点互不重合且无三点共线，是空间任一点，则能使成为空间一组基底的关系是（　Ｃ　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5．正方体的棱长为1，是的中点，则是平面的距离是（　Ｂ　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 6．一条长为的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是和，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是（　Ａ 　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7．若向量与的夹角为，，，则（　Ｃ　） Ａ． Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．12 8．设是的二面角内一点，平面，平面，为垂足，，则的长为（Ｄ　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 9．为正方形，为平面外一点，，二面角为，则到的距离为（　Ｄ　） Ａ． Ｂ． Ｃ．2 Ｄ． 10已知，若有等式成立，则之间的关系是（　Ａ　） Ａ．平行 Ｂ．垂直 Ｃ．相交 Ｄ．以上都可能 答案：Ａ 11．已知平面与所成二面角为，为外一定点，过点一条直线与所成的角都是，则这样的直线有且仅有（　Ｄ　） Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．4条 答案：Ｄ 12．如图1，梯形中，，且平面，，点为内一动点，且，则点的轨迹为（　Ｂ　） Ａ．直线 Ｂ．圆 Ｃ．椭圆 Ｄ．双曲线 答案：Ｂ 二、填空题 13．已知，则的最小值是　　 14．在棱长为的正方体中，向量与向量所成的角为　　． 15．如图2，在正三棱柱中，已知在棱上，且，若与平面所成的角为，则　　　． 16．已知是异面直线，那么： ①必存在平面过且与平行； ②必存在平面过且与垂直； ③必存在平面与都垂直； ④必存在平面与距离都相等． 其中正确命题的序号是　　　①④ 三、解答题 17．设空间两个不同的单位向量与向量的夹角都等于． 解：（1）由，且， ． 又， ． ． （4）同理可得， 是方程的两根，同理也是． 又，． ， ． 18．如图3，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，是直角，，求异面直线与所成角的大小． 解：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则． ，． 设与所成角为， 则． ． 异面直线与所成角的大小为． 19．如图4，在长方体中，，，点在棱上移动，问等于何值时，二面角的大小为． 解：设，以为原点，直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则． ． 设平面的法向量为， 由 令，． ． 依题意． （不合题意，舍去）． ． 20．如图5所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中． （1）求； （2）求点到平面的距离． 解：（1）以为原点，所在直线为轴， 轴，轴建立空间直角坐标系， ， 设． 由，得， ． ． ． （2）设为平面的法向量，，由 得 又，设与的夹角为， 则． 到平面的距离． 21．如图6，在三棱锥中，，，点分别是的中点，底面． （1）求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的大小； （3）当为何值时，在平面内的射影恰好为的重心？ 解：（1）证明：平面， ． 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系． 设，则． 设，则． 为的中点，． ，． ，平面． （2），即，， 可求得平面的法向量． ． 设与平面所成的角为， 则． 与平面所成的角为． （3）的重心，， 平面，． 又，． ． ，即． 反之，当时，三棱锥为正三棱锥． 在平面内的射影为的重心． 22．如图7，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若 ，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作． 求证：向量为平面的法向量； 求证：以为边的平行四边形的面积等于； 将四边形按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积与的大小． 解：（1）， ，同理． 是平面的法向量． （2）设平行四边形的面积为，与的夹角为， 则． 结论成立． （3）设点到平面的距离为，与平面所成的角为， 则， 又， ．