重积分的概念和性质.PPT

设函数 例3 计算 * §9.1 二重积分的概念和性质 在一元函数积分学中，我们已经知道，定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数的积分学问题 具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。这就是多元函数积分学的内容。 引例1.曲顶柱体的体积 第一节 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 曲顶柱体:以xOy面上有界闭区域D为底，侧面是以D为边界曲线而母线平行于z轴的柱面,顶是曲面z=f(x,y)(≥0)D的立体. D o z=f(x,y) x y z 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶. 曲顶柱体体积=？ D o z=f(x,y) Δσi x y z (ξi,ηi) ２．求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 3．二重积分的概念 积分区域 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 积分和 说明： 1.若f(x,y)在闭区域D上连续，则f(x,y)在D上可积. 2.曲顶柱体的体积: 平面薄片的密度: 3.几何意义: 1)f(x,y)?0, 2) f(x,y)?0, 3) 一般:表示位于xOy面上方及下方曲顶柱体体积的代数和. 由二重积分的定义可知 若二重积分 存在 则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，故可采用一种便于计算的划分方式 在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把D分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形， 则面积元素为 4. d? --面积元素, 在直角坐标系中:d? =dxdy 故二重积分可写为 二、二重积分的性质 性质1. 性质4. 性质3.(区域可加性) 性质2. 性质6.设M、m分别是在f(x,y)闭区域D上的最大值和最 小值,则有 性质5. 在D上 则有不等式 特殊地,有 性质7.(二重积分的中值定理)设f(x,y)在闭区域D上连续，?是D的面积,则在D上至少存在一点(?,?),使得 解 例2 利用性质比较 其中D: 由x轴,y轴及x+y=1围成的区域 小结 二重积分的定义 （和式的极限） 二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积） 二重积分的性质 （与定积分类似） D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 在 D 上 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 则 则 有类似结果. 在第一象限部分, 则有 补充 如果积分区域为： ［X－型］ 其中函数 、 在区间 上连续. §9.2 二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 假定 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算. 立体体积 二、平行截面面积为已知的立体的体积 如果积分区域为： ［Y－型］ X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. y x o Ⅰ Ⅱ Ⅲ y x o a b c d D 3.若积分区域D既不是X-型,又不是Y-型, 可以把D 分成几部分,使每个部分是X-型区域或是Y型区域. 2.若积分区域D既是X-型的,又是Y-型的. 则 [注] 1. X-型,Y-型域的特点;(作线法) 计算二重积分的关键-----确定积分限 1。画出积分区域D的图形; 2。根据D及f(x,y)的特点, 选取积分顺序; 3。根据区域D定出积分限; 4。把二重积分化为二次积分. y x o y=x 1 2 y 1 x 2 y=1 x=2 例1 计算 其中D 是由直线y=x,y=1,x=2 所围成的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域, 则 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 例2 计算 ,其中D是由抛物线 及直线