§23 函数的单调性与最值.ppt

一、选择题 二、填空题 C 3 B 2 B 1 答案 题号 B组　专项能力提升题组 7.①③④ 解:(1)任取x1, x2∈[－1, 1], 且x1x2, 例1. 已知定义在R上的函数y=f(x)满足, f(0)≠0 , 且当x0时，f(x)1,且对任意的a,b∈R, f(a+b)= f(a) ·f(b). (1)求f(0)的值； (2)判断f(x)的单调性. 一、抽象函数的单调性与最值 解: (1)令 a = b = 0, 则 任取x1, x2∈R，且x1 x2, (2) 令 a =x , b=-x 则 所以 f (x)0 恒成立. 由于当 x 0 时，f (x) 1, 则 f(x2)=f[(x2-x1)+x1] f( x1). 即 f(x2)f(x1). ∴f(x) 是 R 上 的增函数.　 =f(x2- x1)·f(x1) ∴f(x2- x1)1. 【1】若对一切实数x, y 都有 (1)求f(0)的值; (2)判定f(x)的奇数偶性. 令 x = y = 0, 则 令y = -x , 则 故 f (x)是奇函数. 解:因为对于任何实数 x, y 都有 证明: 任取 x1, x2∈R，且 x1 x2 ，　 则 f(x2)-f(x1)= f[(x2-x1)+x1]-f(x1) ∵x2-x10, ∴f(x2- x1)1. =f(x2- x1)-1. ∴f(x2)-f(x1)0， 即 f(x2)f(x1). ∴f(x) 是 R 上 的增函数.　 【2】若函数 f(x) 对任意 a, b∈ R 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当x0 时, 有 f(x)1. 求证: f(x) 是 R 上 的增函数. ∴f(x2- x1)-10. =f(x2- x1)+f(x1) -1- f(x1) 【3】已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y) 且 f (0)≠0． 求证: f (x) 是偶函数. 令 x = y = 0, 则 令 x = 0 , 则 故 f (x)是偶函数. 解：已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y)， 例2.判断函数 在区间(-1,1)上的单调性. 解:设 则 f(x1)－f(x2) ∵－1＜x1＜x2＜1, ∴1+x1x2＞0,x2－x1＞0, ∴ f(x1)－f(x2)＞0 . 即 f(x1)＞f(x2) . 故此函数在(-1,1)上是减函数. 二、函数单调性的判定及证明 例3. 设 为奇函数,且定义域为R. (1)求b的值； (2)判断函数f(x)的单调性； (3)若对于任意t ∈ R, 不等式 恒成立，求实数k的取值范围． 解: (1)由 f ( x ) 是奇函数, 则 f(-x )=-f (x), 整理, 得 证明: (2) 任取 x1, x2 , 且x1 x2 , 则 所以函数 f(x) 在R内是减函数. 所以实数k的取值范围是 解: (3) 因为 f(x)定义域为R的奇函数,且是减函数, 从而判别式 所以对任意t ∈ R, 不等式 恒成立. 从而不等式 等价于 所以实数k的取值范围是 设 所以对任意t ∈ R, 恒成立. 从而不等式 等价于 从而只须 解: (3) 因为 f(x)定义域为R的奇函数,且是减函数, 【1】 ①③ 主页 函数与方程 抽象函数 复合函数 函数零点、二分法、一元二次方程根的分布 单调性：同增异减 赋值法 函数的应用 函数的 基本性质 单调性 奇偶性 周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性. 2.复合函数单调性：同增异减. 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是-f(x). 2.奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则f(0)=0. 3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立. f (x+T)=f (x)；周期为T的奇函数有： f (T)=f (T/2)=f (0)=0. 二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、 线性规划、导数、利用单调性、数形结合等. 函数的概念 定义 列表法 解析法 图象法 表示 三要素 观察法、判别式法、分离常数法、 单调性法、最值法、重要不等式、 三角法、图象法、线性规划