函数的单调性和最值第1课时.ppt

1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值 例：证明函数f(x)= x3在R上是增函数. 证明：设x1,x2是R上任意两个实数， 且x1x2,则 f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2 +x22 ) = (x1-x2)[(x1+ x2) 2 + x22] 因为 x1x2 ，则 x1-x2 0 又 (x1+ x2) 2 + x220 所以 f(x1)-f(x2)0 即 f(x1)f(x2) 所以f(x)= x3在R上是增函数. 1．函数最大（小）值定义 最大值：一般地 ，设函数的定义域为I如果存在实数M满足： （1）对于任意的 ，都有 ； （2）存在 ，使得 ． 那么，称M是函数 的最大值． 思考：依照函数最大值的定义，结出函数 的最小值的定义． ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 ， 都有 ． 2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法． ①配方法 ②换元法 ③数形结合法 解：设利润为 元，每个售价为 元，则每个涨（ －50）元，从而销售量减少 ∴ ＜100） ∴ ∴答：为了赚取最大利润，售价应定为70元． * * 请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题： 1、当x∈[0，+∞)，x增大时，图（1）中的y值 ；图（2）中的y值 。 2、当x∈(－∞，0)，x增大时，图（1）中的y值 ；图（2）中的y值 。 增大 增大 增大 减小 3、分别指出图(1)、图(2)中，当x ∈[0，+∞)和x∈(－∞，0)时，函数图象是上升的还是下降的？ 4、通过前面的讨论，你发现了什么？ 结论：若一个函数在某个区间内图象是上升的，则函数值y随x的增大而增大，反之亦真； 若一个函数在某个区间内图象是下降的，则函数值y随x的增大而减小，反之亦真。 观察下列图象， 想一想：怎样给增函数和减函数下定义？ y x1 0 x2 x f(x1) f(x2) 设函数f(x)的定义域为I: 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, 当x1＜x2时,都有f(x1)＜ f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数 一、增函数 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这个区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间. y f(x1) f(x2) x1 0 x2 x 设函数f(x)的定义域为I: 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, 当x1＜x2时,都有f(x1)＞ f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数 二、减函数 三、单调性与单调区间 函数y＝f(x)的定义域为A，区间I?A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2， 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)， 那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函数，区间I称为函数y=f(x)的单调增区间. 综上所述： 函数y＝f(x)的定义域为A，区间I ? A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)， 那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调减函数， 区间I称为函数y=f(x)的单调减区间. 综上所述： 增函数、减函数的三个特征： （1）局部性：也就是说它肯定有一个区间。区间可以是整个定义域，也可以是其真子集，因此，我们说增函数、减函数时，必须指明它所在的区间。如y=x+1 (X∈Z)不具有单调性 （2）任意性：它的取值是在区间上的任意两个自变量，决不能理解为很多或无穷多个值。 （3）一致性 增函数： f( ) f( ) 减函数： f( ) ＞ f( ) ＜ ＜ ＜ 请问: 在单调区间上增函数的图象是__________, 减函数的图象是__________.