A—3(4-8)函数单调性与最值.ppt

§4. 函数单调性的判定法 课外作业 § 5. 函数的极值及其求法 课外作业 §6 . 最大值、最小值问题 例题讨论 二、最值的应用题 课外作业 §7. 曲线的凹凸与拐点 例题讨论 例题讨论 课外作业 §8. 函数图形的描绘 例题讨论 课外作业 例2： 最大值与最小值。 解： 比较函数值的大小： 例4： 证明 证： 要证函数 f (x) = 3x - x3 有最值 2 。 分析： 例5 ： 证明不等式： 证： 0 ? 0 ? 当 x 0 , = 0 当 x 0 , = 0 , 得证。 函数 f (x) 在 [a, b] 只有一个极值f (x0) ， 若f (x0)是极大值时，则f (x0)是最大值， 若f (x0)是极小值时，则f (x0)是最小值。 说明： x y 0 a b x0 x y 0 a b x0 (2)实际问题中如果 f (x) 在定义区间内部 只有一个驻点x0时，可根据问题的性质， 断定f (x0)是最大值或最小值。 (驻点唯一性） 例1： 用 6 米长的条形木料做窗框( 如图 )， ( 榫头忽略不计 ) 问 窗框的长、宽尺寸如何选择，可使 窗户的面积最大？求此最大面积。 x 例2： 求证：从点A(5,0) 向抛物线 抛物线的法线。 上的点P(x,y)作最短线段AP，则AP是 解： 例3： 求数列 中最大的一个数。 解： 这些数可看成是函数 习题 3-5 （A） 2(2), 5, 8, 10 习题3-5 （B） 8，10，13 同样单增的函数，有时弯曲的方向不一样。 凹 凸 x y 0 x1 x2 弦上弧下，则曲线为 凹 ； 弦下弧上，则曲线为 凸 。 x y 0 x1 x2 一、曲线的凹凸 x y 0 x1 x2 P Q (I) (II) 取弦的中点 Q 与曲线弧上的相应点 P 定义： 设 f (x) 在区间 I 上连续，对 I 上任意两点 x1, x2 , 恒有 则称 f (x) 在 I 上的图形是 凹的 (凹弧)。 如(I) x y 0 x1 x2 P Q 则称 f (x) 在 I 上的图形是 凸的 (凸弧)。 如(II) 二、判定定理 定理： 设 f (x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b)内 具有一阶与二阶导数。若在 (a, b)内 则 f (x) 在[a, b]上的图形是凹的； 则 f (x) 在[a, b]上的图形是凸的。 证明见书P.148 说明： 定理仍成立。 例： ≧0 判别下列曲线的凹凸性： 1. ∴ y 处处 凸. 2. ∴ y 处处 凹. 3. 凸 凹 x y 0 定义： 连续函数上凹弧与凸弧的分界点 称为这曲线的 拐点（或扭转点）。 说明： (1) 拐点的可疑点： (2) 拐点在曲线上，而不在 x 轴上， 其坐标为 ( x0, y0 )。 三、拐点的判别定理 定理 1. 设具有二阶连续导数的曲线 y = f (x) 在 x = x0 处有 当 x x0 与 x x0 时， 当 x x0 与 x x0 时， 则 ( x0, f (x) ) 是 y = f (x) 的拐点。 则 ( x0, f (x) ) 不是 y = f (x) 的拐点。 定理 2. 设 y = f (x) 在 x0 处三阶可导， 则 ( x0, f (x) ) 是 y = f (x) 的拐点。 例1： 求下列函数的凹凸区间及拐点： (1) ( 正态分布曲线 ) 解： x y 0 0 + + － x y 0 0 + + － x y 0 (2) 解： x y 4 不存在 + － 2 拐点: (4, 2) . 例2： 解： 例3： 利用函数图形凹凸性证明不等式： 解： 故函数图形是凹的， 习题 3-4(A) 8（2, 4, 6), 11 习题 3-4(B) 10 一、渐进线 如果曲线 C 上的点 M 沿曲线 C 离原点无限远离时，M 与某一直线 L 的距离越来越近，趋近于零，则称 L 为 C 的一条渐进线。 x y 0 . M . M . M L ∞ k 则 y = k 为 f (x) 的水平渐进线. x0 ∞ 则 x = x0 为 f (x) 的垂直渐进线. (斜渐进线不作要求) * 一. 函数的单调性 直观定义： 当 f (x1) f (x2) , 则 f (x) 单调增加↗； 当 f (x1) f (x2) , 则 f (x) 单调减少↘。 现在用导数来研究函数的单调性。 0 x y 0 x y (上升) （下降） 从几何上看, y = f (x) 在 [a, b] 上单增(或单减)， 其图形是一条沿 x 轴正向上升(或下降)的曲线。 上升的曲线每点处的切线斜率均为正， 下降的曲线每点处的切