2.2 单电子原子Schrödinger方程的变量分离方法.pdf

结构 2.2 单电子原子Schrödinger方程的变量分离方法 化学 单电子原子Schrödinger方程  1 ∂  2 ∂  1 ∂  ∂  1 ∂2  2µ Ze2   2 r + 2 sinθ + 2 2 2 ψ + 2 E + ψ 0 r ∂r  ∂r  r sinθ ∂θ ∂θ r sin θ φ∂    r  假设ψ可以进行变量分离，写成三个单变量函数的乘积 ψ r,θφ, R r Θ θ Φ φ R r Y θφ, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 假设ψ可以进行变量分离，写成三个单变量函数的乘积。 其中： R——径向波函数 Y——角度波函数，由两个角度波函数Θ函数和Φ函数组成 Y θφ, Θ θ Φ φ ( ) ( ) ( ) 1 结构 2.2 单电子原子Schrödinger方程的变量分离方法 化学 将其代入球坐标系下单电子原子Schrödinger方程 Y d  2 dR  R ∂  ∂Y  R ∂2 Y 2µ Ze2  2 r + 2 sinθ + 2 2 2 + 2 E + RY 0 r dr  dr  r sinθ ∂θ ∂θ r sin θ φ∂   r  2 r 用 乘以上式并移项得 RY 1 d  2 dR  2µr2  Ze2  1 ∂  ∂Y  1 ∂2 Y r + 2 E + =− sinθ − 2 2 R dr  dr    r  Y sinθ θ∂  ∂θ Y sin θ φ∂ 令两边等同于常数β ，于是分解成两个方程。 再将 Y θφ, Θ θ Φ φ 代入上式的等号右边得 ( ) ( ) ( ) 2 2 结构 2.2 单电子原子Schrödinger方程的变量分离方法 化学 sinθ dΘ 2 1 d 2Φ sin sin  θ +β θ =− 2 Θ  dθ  Φ dφ 令两边等于一个新的常数v ，于是又得到两个方程 ψ θφ 这样，有关 (r, , ) 的Schrödinger方程分解成了三个常微分方程： 1 d  2 dR  2µr2  Ze2  r + 2 E +  β R(r)方程 R dr  dr    r  sinθ dΘ 2