第一节导数的概念第二节求导数要点解析.ppt

撇开具体的背景不说， 二、导数的定义 例３.求函数 3.单侧导数 例. 证明函数 三、 导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 函数的形式有无穷多种， 证明(2)： 证明(3)： 例1.已知： 求 例2.已知： 求 例3.求 的导数. 例4.求 的导数. 证明： 例5：证明： 定理2. y 的某邻域内单调可导, 二、反函数的求导法则 实际上，直接函数所具有的性质， 反函数都有相应的性质 利用该公式对某些直接求反函数导数很困难时， 就可以通过直接函数的导数来求解。 证明： 在某区间内单调、可导 由于函数的连续性有： 所以： 例6.求函数 的导数. 解： 的直接函数为 同理可得： 因为 例7.求函数 的导数. 解： 的直接函数为 同理可得： 正确 讨论： 的导数 求函数 实际上 第一个结果不是函数关于自变量x的导数 而是函数关于变量2x+1的导数 在点 x 可导, 定理3. 在点 可导 复合函数 且 在点 x 可导, 三、复合函数求导法则 推广： 则： 函数关于自变量的导数等于函数关于中间变量的导数乘以中间变量关于自变量的导数。 例8.求下列函数的导数： 解： 解： 复合函数的导数公式对于初学者来讲， 即是重点又是难点。 只是必须注意复合函数的复合顺序，从外到里一层一层地求导而不可漏掉。 该方法十分有效，必须正确运用，并熟练掌握。 下面通过举例来说明该方法的求导过程： 用复合函数求导法求导时，也可不将中间变量写出来， * 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 第一节 导数的概念 第二章 导数与微分 导数是微分学的核心概念, 是研究函数 导数及其运算的概念 “变化率”, 就离不开导数. 性质的有力工具. 无论何种学科, 只要涉及到 自变量关系的产物,又是深刻研究函数 一、导数的概念 一般认为, 求变速运动的瞬时速度，求已知曲线 分别在研究瞬时速度 牛顿 ( 1642-1727, 英格兰 ) 下面是两个关于导数的经典例子. 和曲线的切线时发现导数的. 这是微分学产生的三个源头. 上一点处的切线，求函数的最大、最小值。 牛顿和莱布尼茨就是 曲线 那么在 M 点处的切线 就是割线 M N 的极限位置 M T 切线 MT 的斜率: 引例: 函数为 在曲线C上取 1. 曲线的切线斜率 作割线M N 其倾斜角为： 其斜率为： 当点N沿曲线C逼近点M时 即：函数的增量除以相应的自变量的增量 2. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 类似的自由落体运动 时间差越小，平均速度越接近瞬时速度 严格地说,当极限 存在时, 该极限就是质点在 t0 时刻的瞬时速度. 上面两个问题虽然出发点相异， 点x0 处关于 x 的瞬时变化率(或简称变化率). 增量比的极限(如果存在)称为f 在 之比的极限. D y = f (x) – f (x0) 与自变量增量 D x = x – xo 的数学问题： 求函数f 在点 x0 处的增量 具体的背景不同， 但解决的方法类似， 都可归结为同一类型 这个增量比称为函数f 关于自变量的平均变化率。 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 加速度 角速度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 两个问题从数量关系上有共性: 定义1. 设函数 在点 存在, 并称此极限为 记作: 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 处可导, 在点 的导数. 1、函数在一点处的导数的定义 导数归根到底是一个常数，是一个特殊的极限： 函数的增量除以相应的自变量增量的极限 导数的定义的其他形式： 重要的是必须是函数的增量除以相应的自变量增量的极限 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作: 注意: 就称函数在 I 内可导. 2.导函数的定义 导函数与导数既有区别又有联系： 导数是一个确定的值，而导函数是一个函数. 这是区别； 而两者的联系是： 例１. 设 存在, 且 求 解： 即： 例2.设 存在,求极限 解： 实际上： (C为常数)的导数. 解： 即： 例４.求函数 的导数 解： 即： 例5.求函数 的导数 解： 即： 例6.求函数 的导数 解： 即： 例7.求函数 的导数. 解： 例8.求函数 的导数. 解： 在点 的某个右 邻域内 若极限 则称此极限值为 在 处的右 导数, 记作 即 (左) (左) 定义2 . 设函数 有定义, 存在, 存在 在 x = 0 不可导. 证明： 从几何来说