第一节第二节面积.ppt

第六章 第一节 三、如何应用定积分解决问题 ? 第二节 平面图形的面积 例6. 求椭圆 2. 极坐标情形 例7. 计算阿基米德螺线 例8. 计算心形线 例9. 计算心形线 例10. 求双纽线 内容小结 2. * 利用元素法解决: 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用 定积分的应用 定积分的微元法 (Element Method of Definite Integral) 一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ? 第六章 回顾 曲边梯形求面积的问题 一、问题的提出 a b x y o 第一节 定积分的微元法 (Element Method of Definite Integral) 面积表示为定积分的步骤如下 （3） 求和，得A的近似值 a b x y o 曲边梯形的面积： 提示 面积元素 （4） 求极限，得A的精确值 一般在实际问题中的所求量U如果满足下列条件: (1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量; 二、什么问题可以用定积分解决 ? 定积分定义 而将Ｕ 表示为定积分则须用元素法 元素法的一般步骤： 这个方法通常叫做定积分的元素法． 应用方向： 　（１）平面图形的面积；体积； 平面曲线的弧长； （２）　功；水压力；引力等． 第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的 微分表达式 第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 积分表达式 这种分析方法称为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等 近似值 精确值 二、极坐标情形 一、 直角坐标系情形 平面图形的面积 第六章 曲边梯形的面积 图形的面积元素为 x y o x y o 1.直角坐标系情形 A 可以看作为两个 曲边梯形面积的差 注意：公式中不要求 f (x) 和 g(x)非负，但 由连续曲线 x = ? (y) ( ?0 ) , y 轴与直线 y = c , y = d 所 围成的曲边梯形，面积为 在第一象限所围 图形的面积 . 解: 由 得交点 面积元素 例1. 计算两条抛物线 选 x为积分变量 若选 y 为积分变量，则 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 （一）为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 例2. 计算抛物线 （二）选 x 为积分变量，则要将图形分成两块来求。 与直线 的面积 . 所围图形 例2. 计算抛物线 解 两曲线的交点 选 x 为积分变量 于是所求面积 特别注意: 各积分区间上被积函数的形式不同． 例4：求曲线 与直线 所围成的图形的面积。 解： 例5：求曲线 在 x 轴上介于 两极值点间的曲边梯形的面积。 解：先求极值点，令 得驻点： 所以 x = - 1 为极大值点； 所以 x = 1 为极小值点； 给出时, 则曲边梯形面积 起点和终点的参数值分别为 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 对应 ? 从 0 变 解: 到 2? 所围图形面积 . 所围图形的 面积 . 解: (利用对称性) 与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 所围图形面积 . 解: 利用对称性 , 则所求面积为 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 所围公共部分的面积 . 答案: 1. 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 直角坐标方程 思考题 解 x y o 两边同时对 求导 积分得 所以所求曲线为 分析曲线特点 解: 与 x 轴所围面积 由图形的对称性 , 也合于所求. ? 为何值才能使 与 x 轴围成的面积等 故 * * * *