数值第二章解线性方程组的直接方法分析.ppt

* 上机作业 第61页至62页任选一题. * * * * * * 范数等价定理: Rn中任意两个范数等价. ? Rn中范数的重要性质: 范数等价定理 例 1-范数, 2-范数和 ?-范数是两两等价的. * ? 当不需要指明使用哪一种向量范数时，就用记号||.|| 泛指任何一种向量范数. ? 有了向量的范数就可以用它来衡量向量的大小和表示向量的误差. ? 设 x 为Ax b 的精确解，x*为其近似解 ? 绝对误差 ? 相对误差 * ? 矩阵范数是用于定义矩阵“大小”的量，类似于向量范数，可以定义 n 阶方阵A的范数. 定义 矩阵范数 设A为n 阶方阵，按照一定规则有一实数与之对应，记为||A||, 若||A||满足： 1 ||A||?0, ||A|| 0当且仅当A 0时； 2 对任意实数?， ||?A|| |?| ||A||； 3 对任意两个n阶方阵A, B, 都有 ||A+B|| ? ||A||+||B||; 4 ||AB|| ? ||A|| ||B|| 相容性条件 则称||A||为矩阵A的范数. ? 矩阵范数 * ? 常用的三种矩阵范数 ? 1-范数或列范数 ? 2-范数或谱范数 ? ?-范数或行范数 ? 用矩阵范数的定义来验证, 即验证它们满足矩阵范数定义中的四个性质. * 定理 设A为n阶方阵，||?||是Rn中的向量范数, 则 是一种矩阵范数, 称其为由向量范数 ||?||诱导出的矩阵范数. ? 由向量范数诱导出的矩阵范数 矩阵范数与向量范数的相容性性质：设矩阵范数是由向量范数诱导出的，则对任意n阶方阵A, 以及任意的n维向量x, 有 * ? 常用的三种矩阵范数均是由向量范数诱导出的. 对于给定的向量范数1-范数, 2-范数及?-范数, 可以证明由它们诱导出的矩阵范数分别为 ? 1-范数或列范数 ? 2-范数或谱范数 ? ?-范数或行范数 * ? 实际计算常用1-范数与?-范数因其计算比较简单, 理论证明常用2-范数因为它有一些好性质. ? 由矩阵范数与向量范数的相容性性质知对任意n阶方阵A, 以及任意的n维向量x, 有 误差分析 中常用 * ? 矩阵的误差可用矩阵范数表示. 设A*是A的近似矩阵 ? 绝对误差 ? 相对误差 ? 矩阵范数的等价定理也成立. * Matlab函数：norm NORM X is the largest singular value of X, max svd X . NORM X,2 is the same as NORM X . NORM X,1 is the 1-norm of X, the largest column sum, max sum abs X . NORM X,inf is the infinity norm of X, the largest row sum, max sum abs X . NORM X,fro is the Frobenius norm, sqrt sum diag X*X . NORM X,P is available for matrix X only if P is 1, 2, inf or fro. * ? 方程组的状态与条件数 例 方程组I 方程组II ? 右端项有0.00001的差别, 最大相对误差为 0.5?10?5, 但解分量的相对误差为50%. ? 平面上两条接近于平行的直线的交点，当其中一条直线稍有变化时, 新的交点可与原交点相差甚远. * ? 当一个方程组, 由于系数矩阵或右端项有微小扰动, 而引起解发生巨大变化时, 则称该方程组是“病态”的. ? 分以下两种情形加以讨论 ? 只有右端项有扰动 ? 只有系数矩阵有扰动 ? 怎样刻画线性方程组“病态”程度. ? 用条件数来描绘. * ? 只有右端项有扰动 原方程组 扰动后方程组 右端项有扰动?b, 引起解的变化为?x, 其相对误差为 它究竟有多大? * 故 又 ? 这表明: 当右端项有扰动?b时, 解的相对误差 不超过右端项的相对误差 的||A||?||A?1||倍. ? 只有右端项有扰动 从而 * ? 只有系数矩阵有扰动 原方程组 扰动后方程组 系数矩阵有扰动?A, 引起解的变化为?x, 其相对误差为 它究竟有多大? * 故 ? 这表明: 当系数矩阵有扰动?A, 解的扰动 不超过系数矩阵相对误差 的||A||?||A?1||倍. ? 只有系数矩阵有扰动 * 定义 条件数 对非奇异矩阵A, 称数||A||?||A?1|| 为矩阵A的条件数, 记为Cond A ||A||?||A?1||. ? 只有右端项有扰动 ? 只有系数矩阵有扰动. ? 条件数 * ? 矩阵