数值线性方程组直接解法分析.ppt

第二 章;第二章目录;线性方程组的概念 ; 求解Ax = b，曾经学过高斯（Gauss）消元法，克莱姆（Cramer）法则，矩阵变换法等，但已远 远满足不了实际运算的需要，主要体现两个方面：一是运算的快速和准确，其次是方程组的个数增大时的计算问题。如何建立能在计算机上可以实现的有效而实用的解法，具有极其重要的意义，我们也曾指出过，Cramer法则在理论上是绝对正确的，但当n较大时，在实际计算中却不能用。;线性方程组的数值解法;§1 Gauss消元法 ;例1（续）;Gauss消元法的基本步骤1（4阶）; 可以检查，分别以?li1乘第一个方程加到第i个方程上可以完成第一次消元，得同解方程组：;Gauss消元法的基本步骤3（4阶）;Gauss消元法的基本步骤4（4阶）;Gauss消元法的消元过程1、2（n阶）;Gauss消元法的消元过程3（n阶）;照此消元下去，完成n?1次 消元后，可将原方程组化成 同解的上三角形方程组如下： ;Gauss消元法的回代过程（n阶）;Gauss消元法的计算量 ;Gauss法与Cramer法则的计算量比较;§2 主元素法 ;例2（续1）; 若在解方程组前，先交换方程的次序，如将（2-8）交换一行与二行改写成如下所示：;例2两种解法的误差分析;2.2 列主元素法;列主元素法;2.3 全主元素法 ;主元素法举例;2.4 解三对角方程组的追赶法 ;追赶法的解题步骤;追赶法举例;§3 矩阵分解法 ;第二次消元相当于用初等矩阵： ;经过n?1步消元后得到： ;杜利特尔（Doolittle）分解——LU分解 ;3.2 矩阵的三角分解 ;对A进行LU分解;一般情况下，可由：;对A进行LU分解的具体步骤;矩阵A的LU分解举例;三角分解的紧凑格式;（1）计算顺序：将aij ，uij ，lij 按表2-1列好，计算 时按框从外到内进行， 每一框中先算行。从 左向右依次计算 uij ；再算列，自上而下求 lij ；;三角分解的紧凑格式举例;3.3 直接三角分解法 ;直接三角分解法（续）;紧凑格式解线性方程组举例;所以：;三角分解法的几点说明;三角分解法的几点说明（续）;§4 平方根法与改进的平方根法 ;4.1 平方根法 ;定理 2.2（续）;Choleskg分解1 ;Choleskg分解2;平方根法举例;4.2 改进的平方根法 ;改进的平方根法说明;改进的平方根法举例;§5 Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆 ;Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆（续1）;Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆（续2）; 这里aij(1)=a1j，上述aij(2)的计算与Gauss消元法基本上相 同，仅仅由于m11与Gauss消元法中的乘数l11不相同引起第 一行元素a1j(2)与aij(2)计算不相同，假若把增广阵中I的各列 视为A的第n+1列，第n +2列，…，那么上述计算公式中的 第二个下标可扩充到2n。;Gauss-Jordan消元法求逆阵(续4);Gauss-Jordan消元法求逆阵(续5);设经过k – 1 步后得到 ：;Gauss-Jordan消元法求逆阵(续7);Gauss-Jordan消元法求逆阵(续8);Gauss-Jordan法求逆阵的具体步骤 ;（计算其他元素，但少k列，k行） ;Gauss-Jordan法求逆阵举例;§6 方程组的性态与条件数 ;6.1 向量与矩阵的范数 ;常用的向量范数;对2范数;Rn中范数的等价性 ;向量的误差;矩阵范数 ;常用的矩阵范数;常用的矩阵范数（续）;最大行和矩阵范数的证明;最大行和矩阵范数的证明（续）;范数的相容性 ;求范数举例;6.2 舍入误差的影响及算法的稳定性 ; 可以看出，后两个方程组与第一个方程组相 比，系数矩阵或右端向量仅有0.0005以下的误差， 但准确解却相差很大。 ;方程组的性态和条件数（续1）;右端项b产生0.1%的变化?引起解的变化 最大变化184%。;方程组的性态讨论 ——病态、良态; ???不等式表明，当右端项有扰动时，解的相对误差不超过b的相对误差的 倍。 ;方程组的性态讨论（续2）;方程组的性态讨论（续3）;方程组的性态讨论续（3）;在?b充分小时， 此式右端实际上即为：;矩阵的条件数 ;判断病态矩阵的几点参考;利用条件数判断矩阵的性态举例;第二章;定理3.1存在性证明;定理3.1唯一性证明