数值3线性方程组直接解法分析.ppt

阜师院数科院第三章 线性方程组直接解法 3-* 定理3.1唯一性证明 返 回 对于唯一性，假定A有两种Dolittle分解： 由于单位下（上）三角阵的逆仍是单位下三角阵，而 为上三角阵，它们不可能相等，若要相等，必定有： 证毕！ 阜师院数科院第三章 线性方程组直接解法 3-* Gauss-Jordan消元法求逆阵(续8) 完成n步消元后，A?1放在原A的位置。 阜师院数科院第三章 线性方程组直接解法 3-* Gauss-Jordan法求逆阵的具体步骤 按上述紧缩存贮原则，可节省存贮单元，同时还使得整个计算更简单了。可总结求逆步骤如下： 上述1，2是求第k列元素，构成Mk（即求主列） 阜师院数科院第三章 线性方程组直接解法 3-* （计算其他元素，但少k列，k行） 用上述Gauss-Jordan法求逆阵，计算量约 为n3，是Gauss消元法的3倍，为保证方法稳 定性，还可选列主元，若仍按上述紧缩存贮 原则，则最后需按行交换的相反次序作列交 换才能得到A?1。 Gauss-Jordan法求逆阵的具体步骤（续） 阜师院数科院第三章 线性方程组直接解法 3-* Gauss-Jordan法求逆阵举例 例9 解： 按紧缩存贮方式，逐次计算结果与存贮如下： 第一步：k = 1，在第一列中选主元，交换1，2行，得： 第二步： k = 2在第二列对角元下选主元，交换2，3行由1，2先计算第2列，由3计算其他元素（除2列2行外）而由4计算剩下的第2行的元素（这里k=2的第2列第行称为主列，主行） 第三步：k = 3以a33=1/6为主元，消元后得： 交换2、3列 最后：按行交换的相反次序进行列交换：先交换2，3列，再 交换1，2列得A?1。 交换1，2列 阜师院数科院第三章 线性方程组直接解法 3-* §6 方程组的性态与条件数 无论用哪种方法求解线性方程组，一般情况下都会产生误差，本节讨论线性方程组解的误差。 方程组的解为一组数，称为解向量，近似解向量与准确解向量之差称为误差向量，为了估计误差向量的大小，以及 在迭代法讨论收敛性的需要，首先需引 入衡量向量与矩阵大小的度量——范数。 阜师院数科院第三章 线性方程组直接解法 3-* 6.1 向量与矩阵的范数 这三个性质刻画了向量长度的基本特征，并可以用其将平面向量长度的概念推广到一般n维向量，于是有如下定义： 定义1 下屏将给出范数的种类： 阜师院数科院第三章 线性方程组直接解法 3-* 常用的向量范数 容易证明它们都满足上述三条性质。可以看出，2范 数是平面向量长度计算公式在形式上的推广，也是线性代 数中的内积定义。此处引入多种范数来刻画向量的大小， 是为了在不同情况下用不同的范数研究问题。 向量范数的证明：（只对第三条） 对∞范数：前面2条显然，对第三条，由于对任意实数x, y，绝对值不等式：|x+y|≤|x|+|y| 成立，因而有: 分别称为向量x的2范数，1范数，无穷范数。 阜师院数科院第三章 线性方程组直接解法 3-* 对2范数 利用实数的柯西不等式： 于是，有： 常用的向量范数（续） 阜师院数科院第三章 线性方程组直接解法 3-* Rn中范数的等价性 例如可证明如下等价性： 所以，2范 数与?范数 是等价的。 不难证明： ——亦即1范数与?范数是等价的 。 事实上: Rn 中任意 两种范数 部是等价的。 阜师院数科院第三章 线性方程组直接解法 3-* 向量的误差 有了向量范数，就可以用它来表示方程组 解向量的误差，设x是方程组Ax = b的准确解向 量， 是近似解向量，则: 显然，范数不同，其误差值是不一样的。 分别称为 的关于P范数的绝对误差与相对误差。 阜师院数科院第三章 线性方程组直接解法 3-* 矩阵范数 定义2 对任意n阶方阵A = (aij)n?n，若对应一个非负实数||A||，满足： 则称||A||为矩阵A的范数。 与向量范数定义比较，前三条性质只是向量范 数定义的推广，而第四条性质则是矩阵乘法性质 的要求，它使矩阵范数在数值计算中使用更方便。 阜师院数科院第三章 线性方程组直接解法 3-* 常用的矩阵范数 常用的矩阵范数有： 它们分别叫做矩阵的?范数，1范数，2范数，E范数， 矩阵E范数是向量2范数的推广，矩阵?范数，1范数计算 容易，而矩阵2范数与ATA的特征值有关，所以又称为谱 范数，它的计算较困难，但因为它有一些好