讲线性方程组直接解法.ppt

回代过程算法 由回代过程得解 注意解的次序 二、全主元素法举例 例2.3的计算结果表明，全主元素法的精度略优于列主元素法，这是由于全主元素法是在全体系数中选主元，故它对控制舍入误差比较有效。 但全主元素法在计算过程中，需同时作行与列的互换，因而程序比较复杂，计算时间较长。列主元素法的精度虽稍低于全主元素法，但其计算简单，工作量大为减少，且计算经验与理论分析均表明，它与全主元素法同样具有良好的数值稳定性，故列主元素法是求解中小型稠密线性方程组的最好方法之一。 二、全主元素法举例 1. 用高斯消元法解方程组（取3位小数） 2. 用列主元素法解方程组： 作 业 作 业 第3节 直接三角分解法 直接三角分解法 设有线性方程组: 一、 Gauss消去法的矩阵形式 每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵 Lk 如何理解? 一、 Gauss消去法的矩阵形式 上三角方程组的一般形式是： 目标 一、 Gauss消去法的矩阵形式 一、 Gauss消去法的矩阵形式 若对增广矩阵施行初等行变换，经过n-1次消元后得到： 一、 Gauss消去法的矩阵形式 i+1行 i+1行 一、 Gauss消去法的矩阵形式 令 故消元过程是把系数矩阵A分解成下三角矩阵与上三角矩阵的乘积的过程 一、 Gauss消去法的矩阵形式 若非奇异矩阵A，经过一定的行变换后可以分解成两个三角形矩阵的乘积，即 则称上述分解为杜利特尔(Doolittle)分解，也称LU分解。 一、 Gauss消去法的矩阵形式 第2讲 线性方程组的直接解法 线性方程组的直接解法 消元法的一般理论 主元素消去法的理论与程序 三角分解法的理论 向量和矩阵的定义； 矩阵的基本运算：矩阵加法，矩阵与标量的乘法， 矩阵与矩阵的乘法，转置矩阵， 单位矩阵，奇异和非奇异矩阵， 矩阵的行列式（按照行或列展 开），行列式的基本性质。 预备知识 特殊矩阵：对角矩阵，三对角矩阵，上三角矩阵， 对称矩阵（A的转置＝A）， Hermite矩阵（A的共轭转置=A）， 对称正定矩阵（A的转置＝A， 且对任何X，有X的转置×A×X 0）， 正交矩阵（A的逆等于A的转置）， 初等置换阵， Hessenberg矩阵。 预备知识 设有线性方程组: 如何求解方程组? 一、问题的提出 本讲始终假设： 方程组有唯一解 优点：收敛、稳定、结论可靠 缺点：计算量过大 二、方程组的解法1－Cramer法则 Math程序: A={{1,1,1},{0,4,-1},{2,-2,1}}; MatrixForm[%] x={x1,x2,x3}; b={6,5,1}; LinearSolve[A,b] Solve[A.x==b] 答案: {1, 2, 3} {{x1 - 1, x2 - 2, x3 - 3}} 解线性方程组，给出的解为向量形式 三、线性方程组的Maths解法 三、线性方程组的Maths解法 第1节 高斯（Gauss）消元法 高斯（Gauss）消元法 高斯消元法是一个古老的直接法,由它改进得到的选主元的消元法,是目前计算机上常用于求低阶稠密矩阵方程组的有效方法,其特点就是通过消元将一般线性方程组的求解问题转化为三角方程组的求解问题 高斯（Gauss）消元法 举例 举 例 上三角方程组的一般形式是： 目标 高斯（Gauss）消元法 对n阶线性方程组 转化为等价的(同解)的三角方程组. 称消元过程，逐次计算出 称回代过程。 高斯（Gauss）消元法 第n-1步消区过程后，得到等价三角方程组。 高斯（Gauss）消元法 请同学们自己推导！ 高斯（Gauss）消元法 例2.1 举 例 举 例 举 例 消去第一列的 n-1 个系数要计算n*(n-1）次乘法。 远小于用克莱姆法则求解的乘除运算量。 Gauss消去法乘除法计算量 Clear[P1,P2,P3,P4,P5,A,A1,A2,A3,A4,A