第3章线性方程组的直接解法1.ppt

若 足够小，使得 ，则 从而由 ，有 【注】 仅 或 有误差是(3.26)式中 或 的特例. 例16 已知方程组 中 若 解 由于 由式 ， 比右端项的相对误差 扩大了2015倍. 时，估计解的相对误差. （3.25）有误差估计 例17 设在例15方程组中， 有扰动 =(0，0.00001)T ， ，并说明 对解向量 的影响. 求得 ，则 ， 这说明右端项向量 其分量的万分之一的变化，可能引起 有600%的变化，如果我们事先不作分析，其解 是严重病态矩阵，相应的方程组 试计算 解 由 解向量 就难以置信了.因此， 是病态方程组. 3.6.2 矩阵的条件数及其性质 ， ， 分别称为矩阵 的 -条件数、1-条件数和 常用的条件数有 2-条件数. 条件数的性质 时， （2） 当 对称正定时， ，其中， 和 分别是矩阵 的按模最大和按模最小 存在，则有 （4） 若 为正交矩阵，即 ，则 ， . （1） 当 ； 的特征值. （3） 若 ； 判别一个矩阵是否病态是件极其重要的事情.MATLAB提 供了cond(X,p)函数求矩阵X的p条件数，例如， cond(X,1)：X的1条件数； cond(X,2)：X的2条件数； cond(X,inf)：X的 cond(X,fro)：X的Frobenius条件数. p缺省情况表示2条件数，即cond(X)=cond(X,2). 条件数； 例18 下列希尔伯特（Hilbert）矩阵是一族著名的病态矩阵. 用MATLAB函数计算条件数 for n=3:8 cond(hilb(n)) end 得到3至8阶希尔伯特矩阵的条件数分别为： 524.0568 1.5514e+004 4.7661e+005 1.4951e+007 4.7537e+008 1.5258e+010 由此可见，随着 的增加， 的病态可能越严重. 常出现在数据拟合和函数逼近中. .输入 例19 用MATLAB求解线性方程组 ，其中 ， 显然，这个方程组的精确解为 下面用MATLAB求解，讨论 （1） 当 n=5;H=hilb(n);b=H*ones(n,1);x=H\b;x 得到 x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 其解没有什么问题. n=10;H=hilb(n);b=H*ones(n,1);x=H\b;x 得到 x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 1.0002 0.9996 1.0004 0.9998 1.0000 其解有误差，但误差不大，可以接受. 为不同值的情况. 时，输入 （2） 当 时，输入 （3） 当 n=20;H=hilb(n);b=H*ones(n,1);x=H\b;x 得到 x = 1.0000 1.0000 0.9997 1.0039 0.9794 1.0126 1.3920 -1.1443 6.6138 -7.8690 11.9311 -15.2355 26.1941 -24.9072 16.5064 -10.4564 19.5516 -18.4902 10.8570 -0.9390 此时方程组的解已经面目全非了，基本上看不出解的各个分 量为1. 时，输入 5 10 20 60 cond(hilb(n)) 4.7661×105 1.6025×1013 1.9084×1018 2.3191×1019 2.6733×10-12 6.1431×10-4 106.1591 6.3902×103 方程组的解与精确值之间的误差如表3-1所示. 表3-1列出的误差大得超过我们的想像.原因在于Hilbert 计算的舍入误差很小，但由于巨大的条件数，还会产生 很大的计算误差.对于病态方程组，通常的方法无法得 到它的准确解，需要采用一些特殊的处理方法. 系数矩阵当 时，条件数已达到1018，尽管计算机 表3-1 Hilbert系数矩阵方程组的解的误差 3.6.3 病态方程组的处理 ? 对于病态方程组，可采用高精度的算术运算，如双精度或扩充精度，以改善或减轻方程组的病态程度.如果用无限精度运算即不存在舍入误差的话，即使条件数很大，也没有病态可言.我们也可对病态方程组作预处理，使改善方程组系数矩阵的条件数. 例20 设方程组 ，即 试验证其为病态方程组，且对其作预处理 ，使 解 （1）用MATLAB