解线性方程组的解法.ppt

关于解线性方程组的解法第1页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三*线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用.第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组.本章研究一般线性方程组，主要讨论线性方程组解的判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相关的向量线性相关性等.其主要知识结构如下：第2页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三*线性方程组第3页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三*§3.1消元法第一章讨论了含n个方程的n元线性方程组的求解问题.下面我们讨论一般的n元线性方程组(systemoflinearequations)（3.1）写成矩阵形式为其中第4页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三*分别称为方程组（3.1）的系数矩阵(coefficientmatrix)、未知量矩阵和常数项矩阵.当时，称为n元齐次线性方程组；当时，称为n元非齐次线性方程组.并称为方程组（3.1）的增广矩阵(augmentedmatrix).因为一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的.如果可以使（3.1）中的每个等式都成立，则称为线性方程组（3.1）的一个解(solution).线性方程组（3.1）的解的全体称为它的解第5页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三*集(solutionset).若两个线性方程组的解集相等，则称它们同解(samesolution).若线性方程组（3.1）的解存在，则称它有解或相容的.否则称它无解或矛盾的.解线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求出它的全部解.消元法是求解线性方程组的一种基本方法，其基本思想是通过消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组.在中学代数里我们学过用消元法求解二元或三元线性方程组，现在把这种方法理论化、规范化、并与矩阵的初等变换结合起来，使它适用于求解含更多未知量或方程的线性方程组.为此，先看一个例子.第6页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三*例1解线性方程组解原方程组显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程组）同解，所以原方程组有唯一解第7页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三*由此不难发现，在求解线性方程组的过程中，可以对方程组反复施行以下三种变换：1.交换两个方程的位置；2.用一个非零数乘某个方程的两边；3.把一个方程的倍数加到另一个方程上.称它们为线性方程组的初等变换.显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组的同解性.在例1的求解过程中，我们只对方程组的系数和常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵.下面我们将例1的求解过程写成矩阵形式：第8页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三*所以原方程组有唯一解即第9页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三*一般地，不妨设线性方程组（3.1）的增广矩阵可通过适当的初等行变换化为阶梯形矩阵因而由初等行变换不改变矩阵的秩可知：线性方程组（3.1）的系数矩阵与增广矩阵的秩分别为第10页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三*与由线性方程组的初等变换不改变线性方程组的同解性可知：线性方程组（3.1）与阶梯形方程组（3.2）同解，且其解有三种情形：情形1，当，即时，方程组（3.1）无解.情形2，当，即时，方程组（3.1）有唯一解第11页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三*情形3，当