3线性方程组解法1.doc

第3章 线性方程组的解法 本章讨论线性方程组 的求解问题. 线性方程组的矩阵表示 式中A称为系数矩阵，b称为右端项。 数值分析中，线性方程组的数值解法主要分为直接法和迭代法两大类。 直接法是用有限次计算就能求出线性方程组“准确解”的方法（不考虑舍入误差）；迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公式，然后以一个猜测的向量作为迭代计算的初始向量逐步迭代计算，来获得满足精度要求的近似解。 迭代法是一种逐次逼近的方法。 1 线性方程组的迭代解法 线性方程组迭代解法有Jocobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法及Sor法等 基本思想（与简单迭代法类比） 将线性方程组等价变形为 以构造向量迭代格式 用算出的向量迭代序列去逼近解。 1. 构造原理 （1将线性方程组的第i个变元用其他n-1个变元表出，可得 （3.6） （3）取定初始向量，代入，可逐次算出向量序列，这里。 （2）Gauss-Seidel迭代法 例1对线性方程组 写出Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式. 3）Sor法 Sor法的迭代格式 式中参数(称为松弛因子，当( =1时，Sor法就Seidel迭代法2.迭代分析及向量收敛 三种迭代法的向量迭格式 Ax=b，将系数矩阵A作如下分解 则Ax=b可以写成 Jacobi迭代的向量迭代格式 ，. 为迭代矩阵Seidel向量迭代格式 .为Seidel迭代矩阵Sor法的向量迭代格式 .为超松弛迭代矩阵。 三种迭代格式可迭代格式 2）向量收敛定义 定义1 设向量序列及向量都是中的向量，如果有 成立,则称收敛于简记为。 ）范数定义与科学计算中的常用范数 定义2 设L是数域K上的一个线性空间，如果定义在L上的实值函数满足 ，有, 且； ，有； ，有, 则称是L上的一个范数，称为x的一个范数。范数的定义很象绝对值函数，故常用或表示范数，而范数常记为或。这样，上面范数定义中的3个条件常写为1），有, 且； 2），有； 3），有将其与绝对值比较，是否很象？实际上，很多有关绝对值的运算和结论可以平行引进到有关范数的运算和证明问题中。 数值分析中常用的线性空间有 n维向量空间 矩阵空间 连续函数空 函数空间是由闭区间上所有连续函数组成的集合，其线性运算定义为 加法 数乘 ，为数 在这些空间上，数值分析中常用的范数有 (1)的向量范数 1) 2) 3) 式中向量 例2 计算向量的各种范数. (2) 的矩阵范数 矩阵范数要满足如下四条 1），有,且； 2），有； 3），有； 4），有由于线性方程组求解问题中，系数矩阵总是与向量联系在一起的，为描述这种联系，引入如下的算子范数概念 定义3 设矩阵，称 为矩阵A的算子范数。 容易证明，矩阵A的算子范数也是矩阵范数，且满足不等式关系 . 为矩阵的算子范数，证明若，则为非奇异矩阵，且 证：用反证法。 若为奇异矩阵，则其对应的方程组 有非零解，即有，使，得出 两边取范数并作范数运算 ，矛盾，得非奇异。 常用的矩阵范数有如下4种 1）列范数： 2）行范数： 3）F范数： 4）2范数：是最大特征值以上4个矩阵范数中，是算子范数，不是算子范数。 的各种范数. 3）范数等价与向量极限 定义4 设是线性空间L上的两个范数，若存在正常数m和M，成立 则称范数是等价范数。定理1 上的所有范数都是等价的。 定理2 。 式中是上任何一种范数。 谱半径及其与范数的关系 定义5，是A的n个特征值，则称实数 为矩阵A的谱半径。 注意如果是复数，表示复数模。 定理3为任意算子范数，则有 56