数值方法线性方程组.PPT

问题为：迭代矩阵B满足什么条件时， 迭代产生的序列 各方法的收敛性分析： (3)设方程组（3.5）的系数矩阵A按行严格对角占优即： 或按列严格对角占优，即 （1） 迭代法对任意 收敛的条件 （2）若 则 迭代法对 任意 收敛； （3）若简单迭代法(3.8)的迭代矩阵 满 足 或 ，则相应的 迭代法 对任意 收敛 迭代法的收敛性 G-S G-S G-S G-S * 2.高斯—塞德迭代法(Gauss_seidel) 分量迭代格式为 迭代5次达到精度要求。 Gauss-Seidel迭代法的计算过程如下： 3.超松弛(SOR)法 超松驰(Successive Overrelaxation)迭代法 ω (D-L) x=U x + ωg 超松驰(Successive Overrelaxation)迭代法 SOR迭代法的分量形式 SOR迭代法的分量形式 由前述，可以算得： 迭代9次达到精度要求。 迭代5次 故 为最佳松弛因子。 松弛法计算过程如下： 一、矩阵的谱半径 §3.迭代法的收敛条件 基本概念 1 一阶定常迭代法的基本定理： 主 要 内 容 第一节 引言 第二节基本迭代法 1.Jacobi迭代法 2.Gauss_seidel迭代法 3.SOR迭代法 第三节迭代法的收敛性 3.3 解线性方程组的迭代法 迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷列 去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解） 本章主要讨论系数阵为大型稀疏阵线性方程组的 迭代解法。 从定义上讨论迭代法与直接法： 直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的 方法(不计舍入误差!) 直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足。 迭代法 则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些大型方程组。故适用于求解大型稀疏方程组的求解。 从应用上讨论迭代法与直接法有： 基本要求： 1.熟悉简单迭代法及其收敛条件的使用； 2.熟悉Jacobi迭代法及其相应的Seidel迭代法的计算公式以及它们的收敛条件； 3?.熟悉SOR方法的计算公式及其收敛条件； 迭代格式 如何构造 是否收敛 收敛速度 迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则。由不同的计算规则得到不同的迭代法，本章介绍单步定常线性迭代法。 §1.引言 … 但并不是所有的都收敛到解！ 要研究 在B的什 么条件下能达到 ，即 的条件 a11x1+ a12x2+…+ a1nxn=b1 a21x1+ a22x2+…+ a2nxn=b2 …… an1x1+ an2x2+…+ annxn=bn 从第一个方程解出 x1, 第二个方程解出 x2,…,最 后一个方程解出xn ，记成 对一般方程组,用迭代求解 的思想即为对如下线性方程组 §2.基本迭代法 本节将介绍三个主要迭代方法 主要解决如下几个问题： 设有 其中，M为可以选择的非奇异矩阵，且M x = d 要求容易分解，一般选择为A的某种近似， 称M为分裂矩阵。 1.雅可比(Jacobi)迭代法 于是得到 于是有分量形式为： 分量迭代格式为： 收敛与解 故如果序列收敛, 则收敛到解X* Jacobi迭代法的计算过程如下： *