数值课件解线性方程组的直接方法分析.ppt

(2) 系数矩阵A的行列式值相对说很小, 或系数矩阵某些行近似线性相关, 这时A可能病态. (3) 系数矩阵A的元素间数量级相差很大, 并且无一定规则, 这时A可能病态. 用选主元素的消去法不能解决病态问题, 对于病态方程组可采用高精度的算术运算(采用双倍字长进行运算)或者采用预处理方法, 即将求解Ax=b转化为一等价方程组 选择非奇异矩阵P, Q使 cond(PAQ) cond(A). 一般选择P, Q为对角阵或者三角矩阵. 当矩阵A的元素大小不均时, 对A的行(或列)引进适当的比例因子(使矩阵A的所有行或列按∞-范数大体上有相同的长度, 使A的系数均衡), 对A的条件数是有影响的. 这种方法不能保证A的条件一定得到改善. 例10 设 计算条件数cond (A)∞. 解 因为 所以得 现对A的第一行引进比例因子. 如用 除第一个方程式, 得A?x=b?, 即 而 于是得 当用列主元消去法解(6.9)时(计算到小数后3位数字), 于是得到很坏的结果: x2=1, x1=0. 现用列主元消去法解(6.10), 得到 从而得到较好的计算解: x1=1, x2=1. 设?x为方程组Ax=b的近似解, 于是可计算?x的剩余向量r=b-A?x, 当r很小时, ?x是否为Ax=b一个较好的近似解? 下面定理给出了解答. 定理24(事后误差估计) 设A为非奇异矩阵, x是方程组Ax=b≠0的精确解. 再设?x是此方程组的近似解, r=b-A?x, 则 由(6.12)及(6.13)即得到(6.11). 证明 由x-?x =A-1r, 得 又有 (6.11)式说明, 近似解?x的精度(误差界)不仅依赖于剩余r的“大小”, 而且依赖于A的条件数. 当A是病态时, 即使有很小的剩余r, 也不能保证?x是高精度的近似解. 5.6.2 迭代改善法 设Ax=b, 其中A?Rn×n为非奇异矩阵, 且为病态方程组(但不过分病态). 当求得方程组的近似解x1, 下面 研究改善方程组近似解x1精度的方法. 首先用选主元三角分解法实现分解计算 PA=LU, 其中P为置换矩阵, L为单位下三角矩阵, U为上三角矩阵, 且求得计算解x1. 现利用x1的剩余向量来提高x1的精度. 计算剩余向量 r1=b-Ax1, (6.14) 求解Ad=r1, 得到的解记为d1. 然后改善 x2=x1+d1, (6.15) 显然，如果(6.14), (6.15)及解Ad=r1的计算没有误差，x2则就是Ax=b的精确解. 事实上 Ax2=A(x1+d1)=Ax1+Ad1=Ax1+r1=b. 但是，在实际计算中，由于有舍入误差，x2只是方程组的近似解，重复(6.14), (6.15)过程，就产生一近似解序列{xk}，有时可能得到比较好的近似. 算法5(迭代改善法)见书p213， 例题11见书p214. 5.7 矩阵的正交三角化及应用 本节介绍初等反射阵及平面旋转阵，矩阵正交约化，它们在矩阵计算中起着重要作用. 5.7.1 初等反射阵 定义9 设向量w?Rn且wTw=1，称矩阵 H(w)=I-2wwT 为初等反射阵(或称为豪斯霍尔德(Householder)变换).如果记w =(w1,w2,?,wn)，则 定理25 设有初等反射阵H(w)=I-2wwT, 其中wTw=1, 则 (1) H是对称矩阵, 即HT=H. (2) H是正交矩阵, 即H-1=H. (3) 设A为对称矩阵, 那么A1=H-1AH=HAH亦是对称矩阵. 证明 只证H的正交性, 其它显然. 设向量u≠0, 则显然 是一个初等反射阵. 下面考察初等反射阵的几何意义. 考虑以w为法向量且过原点O的超平面S: wTx=0. 设任意向量v?Rn, 则v=x+y, 其中x?S, y?S⊥. 于是 Hx=(I-2wwT)x=x-2wwTx=x. 对于y?S⊥, 易