考研高等数学精讲讲义详解.doc

第一讲 极限与连续 数列的极限 数列极限的定义 定义1：如果对，，使得当时，总有，则称为数列{}的极限，记作，或（. 计算数列极限常常需要用到的几个结论： ；；；. 收敛数列的相关性质 定理1：收敛数列必有界. 定理2：如果，且（或），则，当时，有（或）. 定理3：如果数列{}收敛于，那么其任一子数列{}也收敛于. 定理4：单调有界数列必收敛。 定理5：如果数列{}、{}、{}满足以下条件： （1），当时，有; （2）， 那么， 函数的极限 （一）函数极限的定义 定义1：对，，当时，总有，则称为函数当时的极限，记作或（）. 定义2：对，，当时，总有，则称为函数当时的极限，记作或（）. （二）函数极限的性质 定理1：。 定理2：。 定理3：如果极限，{}为函数定义域内任一收敛于的数列，且，那么数列必收敛，且=。 定理4：如果函数、、满足以下条件： （1）当（或）时，； （2）， 那么极限。 定理5：两个重要极限 ；。 定理6：有界函数乘以无穷小仍为无穷小。 定理7：在自变量的同一变化过程（或）中，的充分必要条件是：存在这一变化过程中一无穷小，使得。 定理8：当（或）时，、、、均为无穷小，且~、~，那么 。 注意：当，下列无穷小等价： ；；；；；；；；。 定理9：罗必塔法则（求未定式的极限） 定理10：如果函数在含有的某一开区间 (a，b)内具有直到 n + 1 阶的导数，则对任一(a，b)，有 +， 其中 ，介于与之间。 当时， 如果函数在含有0的某一开区间 (a，b)内n 阶导数连续，则 常见的麦克劳林展开式： ； ； ； ； 。 函数的连续性 函数连续的定义 定义1：。 定义2：。 连续函数的性质 定理1：。 定理2：如果在闭区间[ a , b ]上连续，则必有最大值与最小值。 定理3：如果在闭区间[ a , b ]上连续，那么对于介于最小值m（）与最大值M（）之间的任何一个数C（mCM），在开区间 ( a , b ) 内最少存在一点，使得。 定理4：如果在闭区间[ a , b ]上连续，且与异号，那么在开区间 ( a , b ) 内最少存在一点，使得。 函数的间断点 第一类间断点：与均存在的间断点。 间断点 第二类间断点：与中至少一个存在的间断点。 可去间断点：补充或修改函数在点的定义，使得函数在点处由不连续变为连续。 三、应用举例 例1：求极限（答案） 例2：设数列{}满足，。 证明存在，并求此极限； 计算极限。 证明：，且，即数列{}有界。 显然 ，设，则，即，从而数列{}单调减少，因此，存在。 设，即，则。 解： ， 而 。 因此 。 例3：求极限 解： = = 则 例4：试确定常数A、B、C，使得。 解：由于，则 = 于是，得 ， 即 注意：（1） （2）为不为零的常数或常量 （3） （4） 例5：设函数连续，且，求。 解：由于 ，于是 = （积分中值定理） : 例6：求极限 （答案：） 例7：设函数=则a 为何值时，在处连续；a 为何值时，为的可去间断点。 解： 则 当，即时，在处连续； 当，即时，点为的可去间断点。 例8：求极限 解：原式= =2 =2 = 例9：求极限 解：由于 则 且 因此 。 第二讲 导数与微分 导数 导数的定义 定义：。 2、导数的性质 定理1：函数在点出可导。 定理2：函数可导，可导，则复合函数关于可导，并且 导数的几何意义（略） 3、隐函数与参数方程确定的函数的导数。 4、高阶导数的计算 ； 5、判断函数不可导点的快捷方法 定理3：设函数、在点处可导，则函数在点处不可导的充分必要条件是：，且。 定理4：设函数的反函数为，则反函数的不可导点是以下两种点： 函数的导数不为无穷大的不可导点对应的函数值； 函数的驻点。 微分 1、微分的定义 定义：，且 ； 三、应用举例 例1：求函数的导数。 例2：设函数 求。 解：当时， 当时， ， 则 ，于是 : 例3：已知函数在处可导，且，求. 解： =。 例4：设由参数方程所确定，求 解： 于是 例5：已知函数可导，求函数的微分。 例6：求函数的不可导的点。 解：记，，显然的根为，很可能是不可导的点。 由于，则不是不可导的点；而，，因此为函数不可导的点。 例7：设