《二零一六考研数学高等数学零基础入门讲义》.pdf

2015 考研数学高等数学零基础入门 主讲：常海龙 第一讲 函数 【教学目的】掌握微积分的理论基础 【教学重点】基本初等函数的简单性质，掌握三角函数之间的常用关系 【内容展开】 一、函数的概念 1. 函数的定义 x x 设两个变量 和 之间有一个对应规律,使变量 在可取值的数集内每取一个值时，变量 y y x y f (x ) x 按照这个规律总有确定的数值和它对应，则称 是 的函数，记作 ， 的取值范 y 围为定义域，所有函数值构成的集合称为值域. 注：定义域的求解 若函数是用解析式表示的，则定义域就是自变量所能取的使解析式有意义的一切实数的 集合 若由实际问题建立的函数，定义域就是具有实际意义的自变量取值的集合； 复杂函数的定义域，就是求解由简单函数的定义域所构成的不等式组的解集； 表达式与自变量的表示符号无关 2 ．函数的分类及表示方法 基本初等函数（定义域、值域、图形、特性要非常清楚） （1）常值函数 y＝C （常数）   2）幂函数 （ 为常数） （ y x x a 0 a 1 （3）指数函数 y a （ 且 ） a 0 a 1 （4）对数函数 y loga x （ 且 ） （5）三角函数 y sin x ;y cosx ;y tan x . y cot x ;y secx;y cscx. （6）反三角函数 y arcsin x ; y arc cosx ; y arctanx ;y arc cotx. 初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算或复合所构成的用一个解析表达式表示 的函数称为初等函数 分段函数：如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两 上或两个以上的表达式来表示 3.函数的四大特性 1 （1）奇偶性：（要求定义域关于原点对称） 若f (x) f (x) ，则称f (x ) 为偶函数； 若f (x) f (x) ，则称f (x ) 为奇函数； 注：奇函数的图像关于原点对称；偶函数图像关于y 轴对称； 常见的奇函数有：sin x , tan x , arctan x , arcsin x 等； 常见的偶函数有：cosx,arccosx 等 （2）周期性： 若f (x T) f (x) ，则称 为f (x ) 的周期.由此可见，周期函数有无穷多个周期，一 T 般我们把其中的最小正周期称为周期. sin x , cosx 2 2 注：常见的周期函数有： 以 为周期，tan x,cotx, sin x , cosx ,si