考研高等数学强化讲义全.doc

第八章 无穷级数（数学一和数学三） 引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如： 历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 第二种 第三种 设 则 ， ， 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1）什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2）无穷多项相加，是否一定有“和”？ 3）无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。 §8.1 常数项级数 （甲）内容要点 一、基本概念与性质 1．基本概念 无穷多个数依次相加所得到的表达式 称为数项级数（简称级数）。 称为级数的前项的部分和，称为部分和数列。 若（存在），则称级数是收敛的，且其和为，记作 若不存在，则称级数是发散的，发散级数没有和的概念。（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 口诀（46）：无穷级数不神秘，部分和后求极限。 2．基本性质 （1）如果 和皆收敛，为常数，则收敛，且等于 （2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4）级数收敛的必要条件是 （注：引言中提到的级数，具有不存在，因此收敛级数的必要条件不满足，发散。调和级数满足，但却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件，而收敛性尚不能确定。） 3．两类重要的级数 （1）等比级数（几何级数） 当时，收敛 当时，发散 （2）一级数 当时，收敛，当时，发散 （注：时，的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知） 二、正项级数敛散性的判别法 若则称为正项级数，这时所以是单调增加数列，它是否收敛就只取决于是否有上界，因此收敛有上界，这是正项级数比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。 1．比较判别法 设，当时，皆成立，如果收敛，则收敛；如果发散，则发散。 2．比较判别法的极限形式 设，， 若 1）当时，与同时收敛或同时发散。 2）当时，若收敛，则收敛。 3）当时，若收敛，则收敛。 3．比值判别法（达朗倍尔） 设，而 1）当时，则收敛 2）当时（包括），则发散 3）当时，此判别法无效（注：如果不存在时，此判别法也无法用） 4．根值判别法（柯西）（数学三不考） 设，而 1）当时，则收敛 2）当时（包括），则发散 3）当时，此判别法无效 事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说不作要求。 三、交错级数及其莱布尼兹判别法 1．交错级数概念 若，称为交错级数。 2．莱布尼兹判别法 设交错级数满足： 1） 2），则收敛，且 四、绝对收敛与条件收敛 1．定理 若收敛，则一定收敛；反之不然。 2．定义 若收敛，则称为绝对收敛； 若收敛，而发散，则称为条件收敛。 3．有关性质 1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。 2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即或一定是发散的。 4．一类重要的级数 设 1）当时，是绝对收敛的 2）当时，是条件收敛的 3）当时，是发散的 （乙）典型例题 一、主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性 例1．判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。 1） 2） 1）解：的 ，收敛 [注] 如果只判别收敛性不需要求和，那么可以用比较判别法的极限形式 因为 而,可知收敛，从而原级数收敛 2）解： ① ②