高数微分方程重点习题含答案.doc

填空题（50） 曲线上任一点处的切线斜率等于,且过点,则该曲线方程是 . 答案： 难度等级：2；知识点：一阶线性常微分方程. 分析 直接由切线斜率的定义及过定点可得一阶线性微分方程的初值问题 及初始条件 ，由通解公式可得。 一潜水艇在下沉力(含重力)的作用下向水底下沉，已知水的阻力与下沉速度成正比(比例系数为),开始下沉速度为零，则速度与时间的函数关系是 . 答案： 难度等级：2；知识点：一阶非齐次线性常微分方程. 分析 由牛顿第二定律可得一阶微分方程的初值问题 可得一阶线性微分方程的初值问题 及初始条件 ，由通解公式可得。 曲线上任一点的切线斜率恒为该点的横坐标与纵坐标之比，则此曲线的方程是 . 答案： 难度等级：2；知识点：一阶线性常微分方程. 分析 直接由切线斜率的定义及过定点可得一阶线性微分方程的初值问题 ，即有 ， ，故可得曲线方程为。 满足方程的解为 . 答案： 难度等级：2；知识点：可降阶的二阶常微分方程. 分析 将方程变形为 ，连续积分两次可得通解为 ，再代入初始条件可解得，故可得解为。 当等于 时，存在满足的非零解。 答案： 难度等级：2；知识点：二阶常微分方程定解问题（边值问题）. 分析 原方程为二阶常系数齐次线性方程，故可对与 分别进行讨论，再代入初始条件可得。 方程 的通解为 答案： 难度等级：2；知识点：可化为一阶线性常微分方程的方程. 分析 原方程为一阶非线性方程，作变换令则 ，代入后可将原方程化为一阶线性方程，由通解公式可得。 设满足，则当 时，= 答案： 难度等级：2；知识点：一阶线性常微分方程. 分析 原方程两端求导数可得，且满足，这是一阶非齐次线性方程的定解问题，由通解公式可得。 设 ，则= 答案： 难度等级：2；知识点：可化为一阶线性常微分方程的方程. 分析 由，可得，积分得。 方程 的通解为 答案： 难度等级：2；知识点：全微分方程. 分析 将方程变为，这是全微分方程，积分得。 方程为全微分方程，则 答案： 难度等级：2；知识点：全微分方程. 分析 由全微分条件可得，即有 ，因此。 满足方程的函数为 答案： 难度等级：2；知识点：可降阶的二阶微分方程. 分析 这是可降阶的二阶方程的定解问题，直接积分可得。 微分方程的通解是 . 答案： 难度等级：2；知识点：全微分方程. 分析 由已知可得，即方程为全微分方程，因此。 方程 可以通过代换 化为一阶线性方程 答案： 难度等级：2；知识点：贝努利方程. 分析 方程为贝努利方程，因此可用将其化为线性方程。 微分方程 的通解是 . 答案： 难度等级：2；知识点：变量分离方程. 分析 方程为变量分离方程，分离变量并积分可得。 微分方程满足初始条件 的特解是 . 答案：或 难度等级：2；知识点：可降价的高阶方程. 分析 方程为不显含自变量的高阶方程，降阶后可解得或 微分方程的通解是 . 答案： 难度等级：2；知识点：可降价的高阶方程. 分析 方程为高阶方程，连续积分两次可得 微分方程的一条积分曲线在点处有水平切线，此积分曲线是 . 答案： 难度等级：2；知识点：可降价的高阶方程. 分析 方程为高阶方程，连续积分两次并代入初始条件 可得 设为定义在上一函数组，（1）如果存在一组 数,使(),则称在上线性相关. 答案：不全为0 难度等级：2；知识点：函数组的线性相关与线性无关. 分析 直接由线性相关与无关的定义可得。 已知是微分方程的解，则其通解为 . 答案： 难度等级：1；知识点：二阶齐次线性微分方程的通解的结构. 分析 方程为二阶线性齐次微分方程，由通解的结构定理可得。 若方程 (均为实常数)有特解，则等于 ,等于 . 答案： 难度等级：1；知识点：二阶齐次线性微分方程. 分析 方程为二阶线性常系数齐次微分方程，由其特征方程及通解的结构定理可得。 若方程 (均为实常数)有特解，则等于 ,等于 . 答案： 难度等级：1；知识点：二阶齐次线性微分方程. 分析 方程为二阶线性常系数齐次微分方程，由其特征方程及通解的结构定理可得。 若方程(均为实常数)有特解，则等于 2 ,等于 0 . 答案： 难度等级：1；知识点：二阶齐次线性微分方