《常微分方程》东师大第二版习题答案.docx
《常微分方程》习题解答
东北师范大学微分方程教研室(第二版)
高等教育出版社
1
习题1.2
1求下列可分离变量微分方程的通解：
(1)ydy=xdx
解：积分，得
1y2=1x2+c
即x2?y2=c
(2)
2 2 1
dy=ylnydx
dy
解：y=0,
y=1为特解，当y≠0,
y≠1时，
ylny
=dx，
积分，得lnlny=x+c1,
lny=±ec1ex=cex
c≠0，即y=ecex
(3)
dy=ex?ydx
解：变形得
eydy=exdx积分，得ey?ex=c
(4)tanydx?cotxdy=0
dy
解：变形得
dx
tany
= = ≠，y 0为特解，当y 0
= = ≠
cotx
cosy
siny
dy=
sinx
cosx
dx.
积分，得lnsiny=?lncosx+c1, lnsinycosx=c1,
即sinycosx=±ec1
=c,
c≠0
2．求下列方程满足给定初值条件的解：
(1)
dy=y(y?1),y(0)=1
dx
1 1
解：y=0,
y=1为特解，当y≠0,
y≠1时，(
y?1?
)dy=dx，y
y?1
cx x
积分，得ln
=x+c1,
=±e1e
y
=ce,c≠0
将y(0)=1代入，得c=0，即y=1为所求的解。
(2)(x2?1)y′+2xy2=0,y(0)=1
解：dy=?
dx
2xy2
x2?1,
y=0为特解，当y≠0时，dy
y2
=? 2xx2?1
dx，
积分，得
?1=?lnx2?1+cy
2
将y(0)=1代入，得
c=?1，即y=
1
为所求的解。
(3)y′=33y2,y(2)=0
dy
解：y=0为特解，当y≠0时，
2
3y3
=dx，
积分，得
1
y3=x+c,
y=(x+c)3
将y(2)=0代入，得c=?2，即y=(x?2)3和y=0均为所求的解。
(4)(y2+xy2)dx?(x2+yx2)dy=0,y(1)=?1
解：x=0,y=0为特解，当x≠0,y≠0时，
1+xx2
dx?
1+yy2
dy=0，
1 1 x
1?1
1?1
积分，得
? +lnx+
x
y?lny=c1,
x
=±ec1exy=cexy,c≠0
y
1?1
将y(1)=?1代入，得
c=?e?2，即
=?e?2exy为所求的解。
y
4．求解方程
x1?y2dx+y
1?x2dy=0
解：x=±1(?1≤y≤1),y=±1(?1≤x≤1)为特解，
当x≠±1,y≠±1时，
dx+
dy=0
积分，得
+ =c(c0)
求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及x轴可围成一个等腰三角形(以x轴为底)，且通过点(1,2).
解：设所求曲线为
y=y(x)
对其上任一点(x,y)
的切线方程：
Y?y=y(X?x)
于x轴上的截距为a=x?y
y
由题意建立方程：
x?y
y
?x=x?0
即y=?y,
x
y(1)=2
求得方程的通解为xy=ec,
c≠0
再由2=ec
得c=ln2, 得所求曲线为
3
为xy=2
人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比
如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？
如果在3小时时的细菌数为得104个，在5小时时的细菌数为得4×104个，那么
在开始时有多少个细菌？
解：设t时刻的细菌数为q(t),由题意建立微分方程
dq=kqdt
k0
求解方程得q=cekt再设t=0时，细菌数为q,求得方程的解为q=qekt
（1）由q(4)=2q
即qe4k=2q