高数微分方程与差分方程精要.ppt

第九章　微分方程与差分方程简介 第一节　微分方程的一般概念 第二节　一阶微分方程 第三节　几种二阶微分方程 第四节　二阶常系数线性微分方程 第一节　微分方程的一般概念 例1.设曲线 y=f(x) 过点(1,2)，且其上各点的切线 斜率等于该点横坐标的2倍，则有　　　　　 第一节　微分方程的一般概念 例2.设 s=s(t) 为作自由落体运动的物体在 t 时刻的 下落距离，则有 第一节　微分方程的一般概念 定义9?1(微分方程) 　　含有未知函数的导数或微分的方程称为微分 方程? 第一节　微分方程的一般概念 定义9?3(微分方程的通解和特解） 如果微分方程的解中所含任意常数的个数等 于微分方程的阶数? 则此解称为微分方程的通解? 第一节　微分方程的一般概念 1.微分方程(ordinary differential equation) 第二节　一阶微分方程 （一）可分离变量的一阶微分方程 变量已分离的微分方程 （一）可分离变量的微分方程 例1.　　　　 （一）可分离变量的微分方程 例2. （一）可分离变量的微分方程 例3. 　　 　 （二）齐次微分方程 　　如果方程 F(x, y, y?)?0 能够写成形如　　 （二）齐次微分方程 齐次方程的解法：　　 （二）齐次微分方程 例.　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 （三）一阶线性微分方程（ linear first order differential equation) 齐次 (homogeneous)　　非齐次(inhomogeneous) （三）一阶线性微分方程 对　　　　　　　　　　　　　 （三）一阶线性微分方程 将　　　　　　　　　　　　　 （三）一阶线性微分方程 例1. （三）一阶线性微分方程 例2. （三）一阶线性微分方程 例3. （三）一阶线性微分方程 （三）一阶线性微分方程 （三）一阶线性微分方程 例4. 设某种商品的供给量QS与需求量QD是只依赖 于价格P的线性函数： 第三节　几种二阶微分方程 （一）最简单的二阶微分方程 （二）不显含未知函数 y 的二阶微分方程 令 （二）不显含未知函数 y 的二阶微分方程 由 （二）不显含未知函数 y 的二阶微分方程 或由 （三）不显含自变量 x 的二阶微分方程 令　 （三）不显含自变量 x 的二阶微分方程 由　 （三）不显含自变量 x 的二阶微分方程 或由　 练习题及解答 1.求解微分方程 练习题及解答 1.求解微分方程 练习题及解答 1.求解微分方程 练习题及解答 1.求解微分方程 练习题及解答 2. 第四节　二阶常系数线性微分方程 二阶常系数线性微分方程 （一）二阶常系数线性齐次方程 叠加原理　 （一）二阶常系数线性齐次方程 定理9.1 如果 y1、y2 是方程 y???p y ??q y ?0 的两个 特解，而且 y1 / y2 不等于常数，则 y?C1 y1?C2 y2 是 该方程的通解，其中 C1 与 C2 为任意常数?　 （一）二阶常系数线性齐次方程 将　 （一）二阶常系数线性齐次方程 (1)当　　　　　　　 　　　　 （一）二阶常系数线性齐次方程 (2)当 （一）二阶常系数线性齐次方程 例2.　　　　　　　　 （一）二阶常系数线性齐次方程 (3)当　 （一）二阶常系数线性齐次方程 因 （一）二阶常系数线性齐次方程 例4. （一）二阶常系数线性齐次方程 例5. （一）二阶常系数线性齐次方程（练习题） 　如果　　　　　 是方程　　　　　　　的解， 则 a = ( 　　 ). （二）二阶常系数线性非齐次方程 定理9.2 (非齐次方程解的结构) 　　若 （二）二阶常系数线性非齐次方程 (1) （二）二阶常系数线性非齐次方程 （二）二阶常系数线性非齐次方程 （二）二阶常系数线性非齐次方程 （二）二阶常系数线性非齐次方程 （二）二阶常系数线性非齐次方程 （二）二阶常系数线性非齐次方程 （二）二阶常系数线性非齐次方程 （二）二阶常系数线性非齐次方程例1. 例1. 解： （二）二阶常系数线性非齐次方程 （二）二阶常系数线性非齐次方程 （二）二阶常系数线性非齐次方程 (2) （二）二阶常系数线性非齐次方程例2. 例2. 解： （二）二阶常系数线性非齐次方程 由 （二）二阶常系数线性非齐次方程 将 （二）二阶常系数线性非齐次方程例3. 例3. 解： （二）二阶常系数线性非齐次方程 由 （二）二阶常系数线性非齐次方程 将 （二）二阶常系数线性非齐次方程 例4? 求非齐次方程y???3y??2y?xex的通解? 解： 不难求出对应的齐次方程的通解为Y?C1ex?C2e2x? 设原方程有特解 y*?v1(x)ex?v2(x)e2x? 则v1(x)和v2(x)满足 于