差分与微分方程.doc

差分方程 理论： 1.一阶差分方程 ….刻画该变量 形如或称为一阶差分方程； 2.二阶差分方程 形如称为二阶差分方程 3.平衡点和稳定性 如果即平衡点 渐近稳定：存在的某个邻域U，对任意的,虽然，但 4.应用及软件实现： 一阶线性常系数差分方程， 其中为常数，有3种方式计算时段的增长率 前差公式： 中点公式： 后差公式： 其中中点公式的精度最高 的解为等比数列 若，则仅有平衡点。 稳定当且仅当 下面选取参数和初始值，按迭代，绘图观察其解的长期行为 详见程序 r=[0.09;0.09;-0.1;-0.1;-1.9;-1.9;-2.09;-2.09]; x=[15;-15;85;-85;85;-85;15;-15]; 一阶线性常系数非齐次差分方程 若则为等差数列； 若，则 引入 则 可得此时平衡点稳定当且仅当 实例：Florida沙丘鹤属于濒危物种，生态学家估计它在较好的自然环境下，年平均增长率仅为1.94%，而在中等及较差自然环境下年平均增长率仅为-3.24%和-3.82%，即它逐渐减少，假设在某自然保护区内开始时有100只沙丘鹤，请建立数学模型，描述其数量变化规律，并作数值计算。 人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年人工孵化5只沙丘鹤放入该保护区，问在3中自然条件下沙丘鹤的数量将会如何变化？ r=[0.09;0.09;-0.1;-0.1;-1.9;-1.9;-2.09;-2.09]; x=[15;-15;85;-85;85;-85;15;-15]; for n=1:20 x(:,n+1)=(1+r).*(x(:,n)); end s{1}=x00,r0; s{2}=1; s{3}=1; s{4}=1; s{5}=1; s{6}=1; s{7}=1; s{8}=1; for k=1:8 subplot(4,2,k),plot(0:20,x(k,:),k+) axis([-1,21,-100,100]) xlabel(s{k}) end r=[0.0194,-0.0324,-0.0382]; x=[100,100,100]; for k=1:20 x(k+1,:)=x(k,:).*(1+r); end disp(yan bian) disp( year good median bad) disp([(0:20),round(x)]) plot(0:20,x(:,1),k^,0:20,x(:,2),ko,0:20,x(:,3),kv) 思考问题： 贷款有两种还款方式：等额本金和等额本息 设有房款60万，首付12万，贷款48万，期限20年，月利率0.5%，问两种还款方式最终差多少钱？ 二、某种山猫在较好中等以及较差的自然环境下，年平均增长率分别为：1.68%，0.055%和-4.5%，假设开始时有100只山猫，按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势 1.三种自然环境下25年的变化情况，结果要列表并图示； 2.如果每年捕获3只，山猫数量将会如何变化？会灭绝吗？如果每年捕获一只呢？ 3.在较差自然环境下，如果要使山猫数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只？ 二阶线性常系数齐次差分方程： 形式：其中 其特征方程为 所以有2个互异的根(一对实根或共轭复根) ，因为 于是一般解为 其中为任意常数，给定得到 得到唯一解 则仅有平衡点 可以证明当同时时平衡点是稳定的 斐波那契数列：在一年之初把一对一雌一雄新生的兔子放入围栏，从第二个月开始，母兔每月生出一对一雌一雄的小兔，每对新生的兔子也从它们第二个月开始，每月生出一对一雌一雄的小兔，求一年后围栏内有多少只兔子？第二年后呢？ 从理论和软件两方面分析 酵母培养物的增长 问题提出： 下表数据是从测量酵母培养物增长的实验收集而来，请建立数学模型，模拟酵母培养物的增长过程 K=[0:18]; xk=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,661.8]; 问题分析： 首先绘制xk关于k的散点图 极限可能存在 再计算并绘图 前图是关于k,后图是关于xk，看出后者呈现明显的二次曲线关系 利用前差公式计算……………………………….（1） 前图是rk关于k，后图是rk关于xk的散点图以及直线拟合 易见rk关于xk近似线性递减关系 ………………………………..（2） 将（1）代入（2），即建立了离散阻滞增长模型 符号说明： K：小时； Xk：酵母培养物在k小时的生物量； rk：生物量在k小时的增长率； r：生物的固有增长率； N：生物的最大容纳