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应用微分方程与差分方程建立数学模型.pptx

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第一部分

应用微分方程建立数学模型

基本概念:微分方程、阶、解、通解、特解、积分曲线、初值问题方程的类型及其解法五类一阶方程及其解法、简单的可降阶的高阶方程、简单的微分方程一节基础知识

三、微分方程稳定性理论简介1、一阶方程的平衡点和稳定性(1)定义1:设有微分方程右端不显含自变量,代数方程的实根称为方程(1)的平衡点(或奇点),显然它是方程(1)的解(或称奇解).

定义2:如果从所有可能的初始条件出发,方程(1)的解都满足则称平衡点是稳定的(或渐近稳定);否则,称平衡点是不稳定的(或不渐近稳定);

也为间接法:利用定义2,即利用(3)式.直接法:不求方程(1)的解,将在点处作泰勒展开,只取一次项,方程(1)近似为判断平衡点是否稳定的两种常用方法:01方程(4)的平衡点。(4)称为(1)的近似线性方程,显然02

则关于平衡点是否稳定有如下结论:010203若,则平衡点对于方程(4)和(1)都是稳定的;若,则平衡点对于方程(4)和(1)都是不稳定的

方程的一般形式可用两个一阶方程表示010102030405定义3:代数方程组的实数根,称它为(5)的一个平衡点(或奇点),记为020304052、二阶方程的平衡点和稳定性

定义4:如果从所有可能的初始条件出发,方程(5)的解,都满足则称平衡点是稳定的(或渐近稳定);否则,称是不稳定的(或不渐近稳定).

A为了用直接法讨论方程(5)的平衡点的稳定性,先看线性常系数方程组的一般形式为B

1显然为系统的奇点,2记系统系数矩阵,3特征方程为4为了书写方便,令,5于是特征方程可写为6特征根为.

01下面就分别特征根为相异实根、重根及复根三种情况加以研究:0203ⅰ04二根同正,05二根同负,06是不稳定结点07二根异号,08是鞍点09ⅱ10是稳定结点

2)负的重根是不稳定的临界结点正的重根是不稳定的退化结点是稳定的临界结点是稳定的退化结点

01复数根的实部不为零是不稳定焦点020304是稳定焦点复数根的实部为零是中心0506

这些结果可以全都反映在下列参数平面上

从而,根据特征方程的系数、的正负很容易判断平衡点的稳定性,准则如下:01若若02或、03则平衡点不稳定.则平衡点稳定;

对于一般的非线性方程(5),可以用近似线性方法判断其平衡点的稳定性:设是方程0102的奇点,总可以用坐标平移03使对应新坐标的原点04

其中将右端高次项略去,得一次近似在点作泰勒级数展开得

在一般情况下用下面的定理:定理1:对于非线性系统(5),若有(即我们讨论的奇点是初等奇点,也就是线性系统的系统矩阵的特征值非零),且为系统(7)的结点(不包括退化结点及临界结点)、鞍点或焦点.又在的邻域连续可微,且满足01则非线性系统(5)的奇点类型与其近似线性系统(7)的奇点类型完全相同.02

应用微分方程建立数学模型通常要运用如下两种方法:所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样.第二节微分方程模型

微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时,经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况,这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单,而且容易使用微分学的手段进行处理.这类模型基本上是以微分方程的形式给出的.

这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子.人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因

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