弹塑性力学弹性应力应变关系.ppt

平面应力情况 平面应变情况（重力坝） 5.1.6 弹性应变能 一维情况 一细长杆，长度L，横截面积S，两端受拉力P作用，伸长量为?L，外力功为 由于应力?x=P/S，?x=?L/L，上式可写成 单位体积的应变能W为 求应变能相对应变的偏导 三维情况 考察微小六面体，应力分量?ij产生的应变分量?ij，各应力分量?ij都只在与它相同的应变分量?ij上做功， 根据能量平衡，单位体积的应变能应是 所以 dW=?ijd?ij 对于弹性体，应变能只取决于状态，是应变状态的单值函数W=W(?ij)，应变能增量dW必须是全微分 于是对于任意的应变增量d?ij都应成立： 这是从能量角度出发建立的弹性物体的应力-应变关系 可导出如下对称性 Cijkl= Cklij 将物理方程?ij =Cijkl?kl代入dW=?ijd?ij，考虑对称性，则 W= Cijkl?ij?kl = ?ij?ij 应变能分解 应变能可分解为体积改变能和形状改变能。 W = ?ij?ij = (sij +?0?ij)(eij + ?kk?ij)= ?0?kk+ sijeij 第一项是体积应力在体积应变上做的功，称为体积改变能（体变能）； 第二项是偏应力在偏应变上做的功，称为形状改变能（畸变能）。 在各向同性情况下，应变能由应变表示为 W = K(?kk)2+ (2G)eijeij 或者用应力表示为 W = (?0)2+ J2 应变能函数W应是正定的，即W?0， 例5-1：对非线性弹性的单轴应力-应变关系 n为常数，求 与 的比值。 5 本构关系 5.1 弹性应力应变关系 5.1.1 一般表示 5.1.2 材料对称性 5.1.3 各向同性弹性体 5.1.4 弹性常数的测定 5.1.5 矩阵形式表达 5.1.6 弹性应变能 应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关 ?x= ?x(?x，?y，?z，?xy，?yz，?zx) ?y= ?y (?x，?y，?z，?xy，?yz，?zx) ……. ?zx= ?zx (?x，?y，?z，?xy，?yz，?zx) 5.1.1 一般表示 对于线性弹性材料，应力与应变是线性关系 ?x =c11?x+ c12?y+ c13?z+ c14?xy+ c15?yz+ c16?zx ?y =c21?x+ c22?y+ c23?z+ c24?xy+ c25?yz+ c26?zx ?z =c31?x+ c32?y+ c33?z+ c34?xy+ c35?yz+ c36?zx ?xy =c41?x+ c42?y+ c43?z+ c44?xy+ c45?yz+ c46?zx ?yz =c51?x+ c52?y+ c53?z+ c54?xy+ c55?yz+ c56?zx ?zx =c61?x+ c62?y+ c63?z+ c64?xy+ c65?yz+ c66?zx 系数cmn共36个，取决于材料弹性性质，与坐标系选取有关 张量形式表示 ?ij =Cijkl?kl 其中Cijkl称为四阶弹性张量，共81个分量。 同样也取决于坐标系，服从四阶张量的坐标变换定律 弹性张量的对称性 （1）根据应力张量和应变张量的对称性 Cijkl= Cjikl （2）根据应力张量和应变张量的对称性 Cijkl= Cijlk 独立的分量也是36个。 （3）应变能存在，则弹性张量关于ij和kl也应对称 Cijkl= Cklij 独立的弹性常数共有21个 两种表示方式之间的关系 弹性系数c的下标